Fonction exponentielle/Exercices/Étude de la fonction exponentielle

Un certain nombre d'études de fonctions ne peuvent se faire sans le théorème de dérivation d'une composée par une fonction affine (niveau 11).

Exercice 1 : étude de fonction

ƒ est la fonction définie sur $[0;+\mathrm{\infty }[$ par :

pour tout $x\in [0;+\mathrm{\infty }[,f(x)=-x+\frac{5}{2}-e^{-x}$.

1. Étudier les variations de ƒ.

2. Étudier la limite de ƒ en $+\mathrm{\infty }$.

3. Démontrer que la courbe représentative $𝒞$ de ƒ admet une asymptote oblique $𝒟$ dont on donnera une équation.

4. Étudier les positions relatives de $𝒞$ et $𝒟$.

5. Déterminer une équation de la tangente à $𝒞$ au point d'abscisse 2.

Modèle:Solution

Exercice 2 : étude de fonction

ƒ est la fonction définie sur $[0;+\mathrm{\infty }[$ par :

pour tout $x\in [0;+\mathrm{\infty }[,f(x)=2x-\frac{5}{2}+2e^{-x}$.

1. Étudier les variations de ƒ.

2. Étudier la limite de ƒ en $+\mathrm{\infty }$.

3. Démontrer que la courbe représentative $𝒞$ de ƒ admet une asymptote oblique $𝒟$ dont on donnera une équation.

4. Étudier les positions relatives de $𝒞$ et $𝒟$.

5. Déterminer une équation de la tangente à $𝒞$ au point d'abscisse 2.

Modèle:Solution

Exercice 3 : dérivation

Calculer la fonction dérivée des fonctions suivantes.

1. $f_1:x\mapsto (3x-2)e^x$

2. $f_2:x\mapsto \frac{x^2}{e^{-x}}$

3. $f_3:x\mapsto 3x{e}^{-3x}$

4. $f_4:x\mapsto \frac{7x{e}^{-x}}{3}$

Exercice 4 : dérivation

Calculer la fonction dérivée des fonctions suivantes.

1. $f_1:x\mapsto (5x-2)e^{-x}$

2. $f_2:x\mapsto \frac{x^2}{e^x}$

3. $f_3:x\mapsto 3x{e}^{-4x}$

4. $f_4:x\mapsto e^{2x+3}$

5. $f_5:x\mapsto 3e^{-4x}$

6. $f_6:x\mapsto x{e}^{2x-1}$

7. $f_7:x\mapsto 3x{e}^{\frac{x}{2}}$

Exercice 5 : étude de fonction

Pour tout réel λ > 0, on note ƒ_λ la fonction définie sur $ℝ$ par :

pour tout $x\in ℝ,f_{\lambda }(x)=\frac{e^{\lambda x}+e^{-\lambda x}}{2\lambda }$

1. Tracer sur calculatrice la courbe représentative de ƒ_λ pour λ = 0,5 et pour λ = 3.

2. Démontrer que ƒ_λ est paire, c'est-à-dire pour tout $x\in ℝ,f_{\lambda }(-x)=f_{\lambda }(x)$.

3. Étudier les variations de ƒ_λ et déterminer sa limite en $+\mathrm{\infty }$.