Fonction dérivée/Dérivée d'une fonction affine suivie d'une autre fonction

Théorème sur la dérivation d'une fonction affine suivie d'une autre fonction

On s'intéresse dans ce chapitre à la dérivation d'une fonction dont l’expression à partir d'un réel x est obtenue en deux temps :

• On applique d’abord une fonction affine
• On applique ensuite au résultat une fonction quelconque ƒ

Le schéma étudié est donc le suivant : $\begin{array}{ccccc}{𝒟}_1& \to & {𝒟}_2& \to & ℝ\\ x& \mapsto & ax+b& \mapsto f& f(ax+b)\end{array}$

qui peut se ramener à l'étude de $\begin{array}{ccc}{𝒟}_1& \to & ℝ\\ x& \mapsto g& g(x)=f(ax+b)\end{array}$

Modèle:Théorème

Modèle:Attention

Exemples

Exemple 1

Soit g la fonction définie sur $ℝ$ par $g:x\mapsto (3x+2{)}^2$. Dériver g

Le schéma est $\begin{array}{ccccc}ℝ& \to & ℝ& \to & ℝ\\ x& \mapsto & 3x+2& \mapsto f& (3x+2{)}^2\end{array}$

et se ramène à $\begin{array}{ccc}ℝ& \to & ℝ\\ x& \mapsto g& g(x)=(3x+2{)}^2\end{array}$

Soit $x\in ℝ$

• D'après le théorème, g est dérivable en x lorsque ƒ est dérivable en $ax+b$
• Dans notre cas, $ax+b=3x+2$
• Pour tout $X\in ℝ,f(X)=X^2$, donc ƒ est dérivable sur $ℝ$ et, pour tout $X\in ℝ,f^{\prime }(X)=2X$
• En particulier, ƒ est dérivable en $ax+b$ donc g est dérivable en x
• On applique la formule du théorème :

Pour tout $x\in ℝ$ :

$\begin{array}{cc}{g}^{\prime }(x)& =a\cdot f^{\prime }(ax+b)\\ & =3\cdot 2(3x+2)\\ & =6(3x+2)\end{array}$

Exemple 2

Soit g la fonction définie sur $ℝ$ par $g:x\mapsto (-4x+5{)}^3$. Dériver g

Le schéma est $\begin{array}{ccccc}\cdots & \to & \cdots & \to & \cdots \\ x& \mapsto & \cdots & \mapsto f& \cdots \end{array}$

et se ramène à $\begin{array}{ccc}\cdots & \to & \cdots \\ x& \mapsto g& g(x)=(-4x+5{)}^3\end{array}$

Soit $x\in ℝ$

• D'après le théorème, g est dérivable en x lorsque ƒ est dérivable en $ax+b$
• Dans notre cas, $ax+b=\cdots$
• Pour tout $X\in \cdots ,f(X)=\cdots$, donc ƒ est dérivable sur $\cdots$ et, pour tout $X\in \cdots ,f^{\prime }(X)=\cdots$
• En particulier, ƒ est dérivable en $ax+b$ donc g est dérivable en x
• On applique la formule du théorème :

Pour tout $x\in \cdots ,g^{\prime }(x)=\cdots$

Modèle:Solution

Exemple 3

• Soit g la fonction définie sur $ℝ$ par $g:x\mapsto {(\frac{1}{2}x+5)}^4$. Dériver g

Le schéma est $\begin{array}{ccccc}\cdots & \to & \cdots & \to & \cdots \\ x& \mapsto & \cdots & \mapsto f& \cdots \end{array}$

et se ramène à $\begin{array}{ccc}\cdots & \to & \cdots \\ x& \mapsto g& g(x)={(\frac{1}{2}x+5)}^4\end{array}$

Soit $x\in ℝ$

• D'après le théorème, g est dérivable en x lorsque ƒ est dérivable en $ax+b$
• Dans notre cas, $ax+b=\cdots$
• Pour tout $X\in \cdots ,f(X)=\cdots$, donc ƒ est dérivable sur $\cdots$ et, pour tout $X\in \cdots ,f^{\prime }(X)=\cdots$
• En particulier, ƒ est dérivable en $ax+b$ donc g est dérivable en x
• On applique la formule du théorème :

Pour tout $x\in \cdots ,g^{\prime }(x)=\cdots$

Exemple 4

• Soit g la fonction définie sur un domaine $𝒟$ par $g:x\mapsto \frac{1}{(2x+1{)}^3}$. Dériver g.

Modèle:Attention

On commence comme d'habitude par identifier les éléments $ax+b$ et ƒ

Le schéma est $\begin{array}{ccccc}𝒟& \to & ?& \to & ℝ\\ x& \mapsto & \cdots & \mapsto f& \cdots \end{array}$

et se ramène à $\begin{array}{ccc}𝒟& \to & ℝ\\ x& \mapsto g& g(x)=\frac{1}{(2x+1{)}^3}\end{array}$

La fonction ƒ est définie par $f:X\mapsto \cdots$ sur le domaine $\cdots$. Compléter dans le schéma l'emplacement « ? » avec cette nouvelle donnée.

$ax+b=\cdots$

En déduire pour quelle(s) valeur(s) de x la fonction g n’est pas définie. En déduire le domaine $𝒟$

Vérifier la dérivabilité.

• Enfin, on applique la formule du théorème :

Pour tout $x\in \cdots ,g^{\prime }(x)=\cdots$

Exemple 5

Soit g la fonction définie sur un domaine $𝒟$ par $g:x\mapsto \sqrt{5x+3}$

Le schéma est $\begin{array}{ccccc}𝒟& \to & ?& \to & ℝ\\ x& \mapsto & \cdots & \mapsto f& \cdots \end{array}$

et se ramène à $\begin{array}{ccc}𝒟& \to & ℝ\\ x& \mapsto g& g(x)=\sqrt{5x+3}\end{array}$

La fonction ƒ est définie par $f:X\mapsto \cdots$ sur le domaine $\cdots$. Compléter dans le schéma l'emplacement « ? » avec cette nouvelle donnée.

$ax+b=\cdots$

Étudier le signe de l’expression $5x+3$. En déduire le domaine $𝒟$

Vérifier la dérivabilité.

• Enfin, on applique la formule du théorème :

Pour tout $x\in \cdots ,g^{\prime }(x)=\cdots$

Modèle:Bas de page