Fonction exponentielle/Exercices/Résolution d'équations et d'inéquations où l'inconnue est un exposant

Équations

Exercice 2-1

Existe-t-il un entier $n$ tel que $3^n=14348907$ ? Modèle:Solution

Exercice 2-2

Résoudre dans $ℝ$ les équations

1. $\frac{1}{{\mathrm{e}}^{x^2+x}}=\frac{1}{12}{\mathrm{e}}^{2x^2+x}$ ;
2. $\frac{2}{{\mathrm{e}}^{-x^2-2x}}=\frac{1}{2}{\mathrm{e}}^{3x^2+x}$.

Exercice 2-3

Résoudre dans $ℝ$ les équations

1. $3^x=19683$ ;
2. $5^x=19100$ ;
3. $5\cdot (2,5{)}^x=411111$.

Exercice 2-4

On note $u_0,u_1,u_2,\dots ,u_{10}$ les pressions atmosphériques, un jour donné, aux altitudes 0, 100, 200, et Modèle:Unité.

La pression atmosphérique diminue approximativement de 1 % lorsqu’on s’élève de Modèle:Unité. Ce jour-là, $u_0=$ Modèle:Unité.

1. Calculer $u_n$ en fonction de $n$. Que représente ce nombre ?

2. Déterminer, en fonction de l’altitude $x$ en centaines de mètres, la pression $p(x)$.

3. Le baromètre d’un ermite marque Modèle:Unité. À quelle altitude se trouve-t-il ?

Inéquations

ln est croissante. On peut donc prendre le ln des deux membres d'une inégalité sans changer le sens de l’inégalité.

Exercice 2-5

Résoudre dans $ℝ$ l'inéquation $5{\mathrm{e}}^{2x^2}\ge 15$. Modèle:Solution

Exercice 2-6

Résoudre dans $ℝ$ les inéquations

1. $(1,5{)}^x>15678$ ;
2. $(0,7{)}^x>0,000006$ ;
3. $5^x<2,105647$ ;
4. ${\left(\frac{3}{5}\right)}^x<0,000003$.

Exercice 2-7

Un capital de Modèle:Unité est placé à intérêts composés à un taux annuel de 10 %.

Combien d'années faudra-t-il pour que la somme placée dépasse Modèle:Unité ? Modèle:Solution

Exercice 2-8

Deux capitaux sont placés simultanément à intérêts composés : le premier de Modèle:Unité à 12 % l’an, le second de Modèle:Unité à 9 % l’an. Calculer le nombre d’années à partir duquel le premier placement dépassera le second. Modèle:Solution

Exercice 2-9

Combien de chiffres le nombre $2^{500}$ possède-t-il ? Modèle:Solution