Fonction exponentielle/Exercices/Étude d'une fonction comportant des exponentielles

On appelle $f$ la fonction définie sur l'ensemble des nombres réels par :

$f:x\mapsto \frac{{\mathrm{e}}^x-{\mathrm{e}}^{-x}}{2}$.

On désigne par $𝒞$ la courbe représentative de $f$ dans le plan rapporté à un repère orthonormal.

1. Question 1
   1. Déterminer les limites de $f$ en $-\mathrm{\infty }$ et en $+\mathrm{\infty }$.
   2. Calculer $f^{\prime }(x)$ pour tout nombre réel $x$ et en déduire le sens de variation de $f$ sur $ℝ$.
2. Question 2
   1. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe $𝒞$ au point d'abscisse 0.
   2. En étudiant le sens de variation de la fonction d définie sur $ℝ$ par $d:x\mapsto f(x)-x$, préciser la position de $𝒞$ par rapport à T.
   3. Tracer $𝒞$ et T.

Une petite page de culture

La fonction $f$ est une fonction classique en mathématiques qui s’appelle la fonction « sinus hyperbolique », notée $\sinh$.

$\sinh :x\mapsto \frac{{\mathrm{e}}^x-{\mathrm{e}}^{-x}}{2}$.

Sa dérivée est la fonction « cosinus hyperbolique », notée $\cosh$.

$\cosh :x\mapsto \frac{{\mathrm{e}}^x+{\mathrm{e}}^{-x}}{2}$.

Ces fonctions sont respectivement les parties impaire et paire de l'exponentielle :

• pour tout $x\in ℝ\sinh (-x)=-\sinh x$ ;
• pour tout $x\in ℝ\cosh (-x)=\cosh x$ ;
• pour tout $x\in ℝ\cosh x+\sinh x={\mathrm{e}}^x$.

De plus, elles disposent de propriétés algébriques très ressemblantes aux fonctions de trigonométrie classique. Par exemple ${\cosh }^2-{\sinh }^2=1$.

Pour aller plus loin, consulter le cours sur la trigonométrie hyperbolique.