Fonction exponentielle/Exercices/Équations différentielles

Exercice 7-1

Soient $a,b\in ℝ$. Déterminer l'unique fonction $f$ dérivable sur $ℝ$ vérifiant :

$f^{\prime }=af$ et $f(0)=b$.

Exercice 7-2

Un médicament administré par voie orale est éliminé par la fonction rénale. On suppose que la durée d'absorption par voie orale est négligeable (à $t=0$, la quantité $Q_0$ de produit est présente dans le tube digestif). La vitesse de passage du médicament du système digestif à la circulation sanguine est proportionnelle à la quantité de médicament restant dans le tube digestif (de constante d'absorption $k_a$). La vitesse d'élimination du médicament par les reins est proportionnelle à la quantité présente dans le sang (de constante d'élimination $k_e<k_a$). On note $Q(t)$ (respectivement $S(t)$) la quantité de médicament présente dans le tube digestif (resp. dans le sang) à l'instant $t$.

1. Calculer la quantité de médicament dans le tube digestif en fonction du temps.
2. Expliquer la relation suivante : $S^{\prime }(t)=k_{a}Q(t)-k_{e}S(t)$. En déduire l'expression de $S(t)$.
3. Au bout de combien de temps la quantité de médicament dans le sang sera-t-elle maximale ?

Exercice 7-3

L'effectif $N(t)$ (exprimé en milliers) d'une population de microbes s'accroît, pendant l'intervalle de temps $\mathrm{\Delta }t$, de la moitié du produit $N(100-N)\mathrm{\Delta }t$.

1. Établir l'équation différentielle satisfaite par $N(t)$.
2. On pose $y(t)=\frac{1}{N(t)}$. Donner l'équation différentielle satisfaite par $y(t)$.
3. Donner l'expression de $y(t)$ et en déduire $N(t)$.
4. Sachant que $N(0)=50$, étudier l'évolution de la population au cours du temps. En particulier, quel est l'effectif limite quand $t$ tend vers l'infini ?

Exercice 7-4

Un bateau-citerne a coulé au large de la Bretagne. On souhaite alors retirer le pétrole restant dans une de ses cuves. Pour ce faire, on introduit dans la cuve une quantité $N_0$ de bactéries qui ont la propriété d'éliminer le pétrole. Ces bactéries se reproduisent et l'on note $N(t)$ la quantité de bactéries présentes dans la cuve au temps $t$. On suppose que l'évolution de la quantité de bactéries suit la propriété suivante : pendant un petit intervalle de temps $\mathrm{\Delta }t$, la variation de quantité $\mathrm{\Delta }N$ est proportionnelle (avec un coefficient constant $k>0$) à $\mathrm{\Delta }t$ et la quantité de bactéries présentes dans la cuve.

1. Expliquer pourquoi $N(t)$ satisfait l'équation différentielle $N^{\prime }(t)-kN(t)=0$.
   Donner alors l'expression de $N(t)$ et tracer approximativement le graphe de $N(t)$.
2. Pour tout $t$, on note $T(t)$ le temps nécessaire pour que la quantité au temps $t+T(t)$ soit le double de la quantité au temps $t$ (temps de doublement de vies). Montrer que $T(t)$ ne dépend pas de $t$ et en donner une expression en fonction de $k$.
3. On suppose que le temps $t$ est exprimé en heures. On a observé qu'au bout de 3 heures, la quantité de bactéries avait doublé par rapport à la quantité de départ $N_0$. Calculer alors $k$.
4. On suppose que $N_0=10^3$. Avec la valeur de $k$ donnée à la question précédente, calculer le temps $T$ au bout duquel on aura $10^6$ bactéries dans la cuve.

   On note $Q(t)$ la quantité de pétrole présent dans la cuve. On suppose qu'à $t=0$, on avait une quantité $Q(0)=Q_0$. On suppose que l'élimination du pétrole par les bactéries se fait de la façon suivante : la vitesse d'élimination de la quantité de pétrole éliminé est proportionnelle (avec un coefficient constant $\lambda >0$) à la quantité de bactéries présentes dans la cuve.

5. En utilisant cette hypothèse, donner l'expression de $Q^{\prime }(t)$. En déduire alors que

   $Q(t)=Q_0+\frac{\lambda N_0}{k}-\frac{\lambda N_0}{k}{\mathrm{e}}^{kt}$.

6. Tracer approximativement le graphe de $Q(t)$ et déterminer, en fonction de $Q_0$, $N_0$, $\lambda$ et $k$, le temps $\tau$ à partir duquel toute la quantité de pétrole aura disparu.

Exercice 7-5

On étudie la réaction chimique suivante : $2A+3B\to A_2{B}_3$. La vitesse de réaction est proportionnelle aux concentrations de $A$ et $B$ : $\frac{\mathrm{d}[A_2{B}_3]}{\mathrm{d}t}=k[A][B]$. On suppose qu'au départ il n'y a pas de produit $A_2{B}_3$. Exprimer en fonction du temps les concentrations $[A]$, $[B]$ et $[A_2{B}_3]$ (on pourra chercher $a$ et $b$ réels tels que $\frac{1}{(2x-x_1)(3x-x_2)}=\frac{a}{2x-x_1}+\frac{b}{3x-x_2}$). Modèle:Solution