Fonction exponentielle/Dérivée de exp(u)

Dérivée de e^ax+b

On considère des fonctions de paramètres a et b écrites sous la forme : $x\mapsto e^{ax+b}$.

Par exemple, soit la fonction ƒ définie par : $f(x)=e^{2x+1}$ $\mathrm{\forall }x\in ℝ$

ƒ est la fonction composée de la fonction affine $u:x\mapsto 2x+1$, définie sur $ℝ$,

et de la fonction exponentielle $e^x$, ce que l’on représente par le schéma suivant :

$\begin{array}{ccccc}x& \to & u(x)& & \\ & & t& \to & e^t=e^{u(x)}\end{array}$

Pour calculer l’expression de ƒ', on utilise le théorème suivant :

Dans notre cas particulier, pour tout $x\in ℝ,f^{\prime }(x)=2\cdot e^{2x+1}$

Dérivée de e^u(x)

Toujours dans l'exemple de la fonction ƒ, on avait, pour tout $x\in ℝ,u^{\prime }(x)=a=2$.

On généralise ce procédé dans le cas où u(x) n’est pas forcément une fonction affine.

Exemples

Sans se préoccuper de l’intervalle I, dériver les fonctions ƒ suivantes :

Exemple 1

$f:x\mapsto e^{x^2+1}$

Pour tout $x\in I,u(x)=\dots$.

Pour tout $x\in I,u^{\prime }(x)=\dots$

Donc pour tout $x\in I,f^{\prime }(x)=\dots$

Exemple 2

$f:x\mapsto e^{2x^3+1}$

Exemple 3

$f:x\mapsto e^{x^2+2x+1}$

Exemple 4

$f:x\mapsto e^{(x+1{)}^2}$

Exemple 5

$f_5:x\mapsto -3e^{5x^2+3}$

Exemple 6

$f_6:x\mapsto x(3e^{5x^2+3})$

Exemple : l’exponentielle décroissante

On considère la fonction définie sur $ℝ$ par $f:x\mapsto e^{-x}$

On a alors, pour tout $x\in ℝ,f^{\prime }(x)=\dots$ et le tableau de variations :

x
ƒ'
ƒ

Les limites aux bornes du domaine de définition de la fonction exponentielle sont :

• $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{e}^{-x}=\dots$
• $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }{e}^{-x}=\dots$

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