Fonction exponentielle/Croissances comparées

Comparaison de e^x et x au voisinage de + ∞

La fonction $\exp$ est strictement croissante sur $ℝ$. On va montrer que quand $x$ tend vers $+\mathrm{\infty }$, ${\mathrm{e}}^x$ tend vers $+\mathrm{\infty }$ plus vite que $x^n$, pour tout entier $n$.

Pour formaliser cela, on étudie la limite $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{{\mathrm{e}}^x}{x^n}$, qui est écrite sous la forme indéterminée : $\frac{+\mathrm{\infty }}{+\mathrm{\infty }}$.

Comparaison de e^x et x au voisinage de - ∞

On en déduit la limite $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }{x}^n{\mathrm{e}}^x$, qui est écrite sous la forme indéterminée : $\pm \mathrm{\infty }\times 0^{+}$.

En résumé

Lorsque les limites en $\pm \mathrm{\infty }$ d'un produit ou quotient d'une exponentielle et d'un polynôme donnent lieu à des formes indéterminées, on sait que l'exponentielle est prioritaire sur le polynôme. Ce sont donc ses limites respectives à prendre en compte et à appliquer dans les expressions.

Voir aussi : Fonction logarithme/Croissances comparées.