Fonction exponentielle/Annexe/Activité d'introduction

La fonction carré

Soit la fonction $f$ définie sur $ℝ$ par $f:x\mapsto x^2$.

1. Donner l’expression de $f^{\prime }$.
2. Donner une relation entre $f^{\prime }$ et $f$.

Cette relation peut être vue comme une équation différentielle dont l'inconnue est une fonction (ici $f$, notée plus généralement $y$), dont la fonction carré est solution.

La fonction inverse

On définit la fonction $f$ sur ${ℝ}^{*}$ par $f:x\mapsto \frac{1}{x}$.

1. Donner l’expression de $f^{\prime }$.
2. Donner une équation différentielle d'inconnue y, dont la fonction inverse est solution.

La fonction cosinus

1. Donner les expressions de ${\cos }^{\prime }$ et ${\cos }^{″}$.
2. Donner une équation différentielle d'inconnue y dont la fonction cosinus est solution, en utilisant l’expression de ${\cos }^{″}$.

Exponentielle

Supposons qu’il existe une fonction $f$ qui vérifie l'équation différentielle $f^{\prime }=f$ sur $ℝ$ et supposons que $f(0)=1$

1. Expliquer pourquoi cette fonction $f$ sera nécessairement croissante.
2. Que penser de sa « vitesse de croissance » ?