Fonction dérivée/Exercices/Étude de fonctions polynômes du second degré

Exercice 1

Soit la fonction $f$ définie sur $ℝ$ par pour tout $x\in ℝ,f(x)=x^2-2x-3$

1. Déterminer la fonction dérivée $f^{\prime }$.

2. Compléter en justifiant le tableau de signes de $f^{\prime }$ et le tableau de variations de $f$.

x	$-\mathrm{\infty }$ $+\mathrm{\infty }$
Signe de $f^{\prime }(x)$
Variations de $f$

3. Calculer la valeur du minimum de $f$ sur $ℝ$.

Exercice 2

Donner les tableaux de variations des fonctions suivantes sur $ℝ$.

• $f_1:x\mapsto 2x^2+3x+1$
• $f_2:x\mapsto x^2-2x+2$
• $f_3:x\mapsto -x^2+3$
• $f_4:x\mapsto -3x^2-x$

Exercice 3

Soit la fonction $f$ définie sur $ℝ$ par $f(x)=x^2-2x+3$.

1. a) Déterminer la fonction dérivée $f^{\prime }$.

b) Étudier le signe de $f^{\prime }(x)$.

c) Étudier les variations de $f$ (on précisera le minimum de $f$).

2. a) Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse 2.

b) Quelle erreur absolue commet-on si on utilise cette approximation affine de $f$ pour $x=1,8$ ?

Exercice 4

1. Soit $S$ un réel. Déterminer la valeur maximum de la fonction $f$ définie sur $ℝ$ par $f(x)=x(S-x)$.
2. Soit $P$ un réel strictement positif. Quelle est la valeur minimum de la fonction $g$ définie sur ${ℝ}_{+}^{*}$ par $g(x)=x+\frac{P}{x}$ ?
3. Déduire de la question 1 que pour tous réels $x$ et $y$,

   $xy\le \frac{(x+y{)}^2}{4}$.

4. Retrouver ce résultat à l'aide d'une identité remarquable
5. Déduire de la question 3 ou 4 l'inégalité arithmético-géométrique : pour tous réels positifs $x$ et $y$,

   $\sqrt{xy}\le \frac{x+y}{2}$.