Fonction dérivée/Exercices/Formule de Taylor

On considère la fonction ƒ définie par pour tout $x\in ℝ,f(x)=\frac{(1-x^2{)}^2}{1+x^2}$ . L'objectif de la partie I est d'établir quelques propriétés de ƒ. L'objectif de la partie II est l'étude du comportement de ƒ au voisinage de l'abscisse x₀ = 1 et son approximation par des fonctions plus simples au voisinage de ce point.

Partie I

1. Étudier la parité de la fonction ƒ. Quelle propriété graphique peut-on en déduire pour sa courbe C_ƒ ?

2. Calculer la dérivée ƒ' . Factoriser ƒ'(x) puis étudier son signe. En déduire le tableau de variation de ƒ.

3. Tracer soigneusement C_ƒ.

4. Résoudre algébriquement l’équation $f(x)=\frac{1}{2}$.

Partie II

On cherche à Modèle:Truc évasif. Le mathématicien anglais Taylor (1685-1731) a mis en place une formule permettant une approximation polynomiale des fonctions (lorsque celles-ci sont suffisamment dérivables) au voisinage d'une abscisse x₀ : lorsque x est proche de x₀, on a :
$f(x)$Modèle:Truc évasif$f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+f^{″}(x_0)\frac{(x-x_0{)}^2}{2!}+\cdots +f^{(n)}(x_0)\frac{(x-x_0{)}^n}{n!}$
Dans cette formule, l'entier n s’appelle « l'ordre du développement de Taylor » et ƒ ⁽ⁿ⁾ désigne la dérivée n-ième de f, appelée encore dérivée d’ordre n de ƒ.

1. Utiliser la formule de Taylor à l’ordre n = 1 pour obtenir une approximation affine P₁ de ƒ en x₀ = 1.

2. Utiliser la formule de Taylor à l’ordre n = 2 pour obtenir une approximation polynomiale de degré 2 (que l’on notera P₂) de ƒ en x₀ = 1. (Vous devrez, au préalable, calculer la dérivée seconde ƒ'' de ƒ ).

3. Tracer les représentations graphiques de P₁ et P₂ sur le graphique de la partie I.

Remarque :

• P₁ est représentée par la tangente à C_ƒ au point d'abscisse x₀ = 1.
• P₂ est représentée par la « meilleure » parabole approchant C_f au voisinage de x₀ = 1. Si on n’est pas satisfait par la qualité de l'approximation, on peut toujours augmenter l’ordre du développement n.

Application

On pose $f:x\mapsto \cos (x)$, $g:x\mapsto \sin (x)$ et $h:x\mapsto \tan (x)$

1. Utiliser la formule de Taylor à l’ordre n = 2 pour obtenir une approximation polynomiale de degré 2 de la fonction ƒ au voisinage de 0 (c'est-à-dire en x₀ = 0 ).

2. Utiliser le formule de Taylor à l’ordre n = 3 pour obtenir une approximation polynomiale (de degré 3) des fonctions sinus et tangente au voisinage de 0.

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