Fonction dérivée/Exercices/Approximation affine locale

Une approximation affine locale : cas économique

La production d'une quantité x d'une marchandise coûte :

$C(x)=\frac{x^3}{4}-3x^2+63\frac{x}{4}+10$

avec $x\in [2;6]$.

Un chef d'entreprise utilise l'astuce suivante pour simplifier son calcul :

« Je multiplie la quantité par 15, je la divise par 4 et j'ajoute 26 pour obtenir le coût. »

On veut démontrer que son erreur ne dépasse pas 7 %.

1. Transformons la recette en formule mathématique :

pour tout $x\in [2;6],C_{app}(x)=\cdots$

2. Tracer le graphe des fonctions C et C_app. Que remarque-t-on ?

3. Déterminons une approximation affine de $C(x)$ autour de x = 4,

en assimilant la courbe de C à sa tangente au point d'abscisse x = 4

a. Calculer :

pour tout $x\in [2;6],C^{\prime }(x)=\cdots$

b. Calculer :

$C^{\prime }(4)=\cdots$

$C(4)=\cdots$

En déduire l'équation de la tangente en $x=4$

Pour tout $x\in [2;6],C_{app}(x)=\cdots$

4. Soit la fonction "erreur" définie par :

pour tout $x\in [2;6],e(x)=C(x)-C_{app}(x)$.

Calculer :

pour tout $x\in [2;6],e(x)=\cdots$

pour tout $x\in \cdots ,e^{\prime }(x)=\cdots$

x
Signe de e'(x)
Variations de e

5. Calculer $C(2)$ et $C(6)$ et conclure quant au problème de départ :

Modèle:Solution

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