Expressions algébriques/Quelques règles

Polynôme à plusieurs indéterminées

Les polynômes comme : $7x^3+x^2-3x+2$ sont des polynômes à une seule indéterminée qui est $x$.

Un polynôme à deux indéterminées $x$ et $y$ serait par exemple : $3x^3{y}^5+6x^4{y}^2-3x^{2}y+5x{y}^3+2$

Un polynôme à trois indéterminées $x$, $y$ et $z$ serait par exemple : $5x^3{y}^{4}z+2x^3{y}^2{z}^5-3x^{2}y{z}^3+5x{y}^3+2z$

et ainsi de suite..

Ces polynômes s'écrivent comme des sommes de termes de la forme $x^n{y}^m{z}^p\cdots$ que l'on appelle monôme. Un polynôme est donc une somme de monômes.

Le degré d'un monôme est égal à la somme des puissances des indéterminées $x$, $y$, $z$, etc.

Si tous les monômes du polynôme ont le même degré, alors le polynôme est homogène.

Par exemple : $4x^3{y}^2-5x^{4}y-3x^2{y}^3+5x{y}^4+2y^5$est un polynôme homogène de degré 5.

Si nous avons dit cela, ce n'est pas pour faire un cours sur les polynômes, mais pour donner un premier conseil sur la transformation d'expressions algébriques.

Les expressions algébriques à transformer sont souvent faites de polynômes homogènes. Nous avons alors la règle suivante :

Astuce de factorisation

Nous commencerons par énoncer la règle suivante :

Monômes de plus haut degré uniques

Nous avons la règle suivante :

Monômes de plus haut degré multiples

La méthode utilisée dans l'exemple du paragraphe précédent peut se généraliser à des polynômes qui contiennent plusieurs monômes du degré le plus élevé. Dans ce cas-là, on risque de s'y prendre à plusieurs reprises pour savoir quel monôme doit être divisé par tel autre monôme. On tentera alors de faire en sorte qu'après simplification, le degré du polynôme du premier membre diminue et que le nombre de monômes dans le premier membre se réduise.

Pour ce faire, une méthode qui permet souvent d'aboutir est de commencer par rechercher tous les quotients possibles en divisant tous les monômes de plus haut degré du premier membre par tous les monômes de plus haut degré apparaissant dans le second membre et de choisir le ou les quotients qui apparaissent le plus souvent.

C'est pas très clair, prenons un exemple :

Invariance par permutation circulaire

Une expression est invariante par permutation circulaire des variables si, en plaçant les variables sur un cercle, l'expression ne change pas lorsqu'on remplace chaque variable par celle qui suit, et ce, en tournant dans le cercle (dans le même sens pour toutes les variables : sens trigonométrique ou sens horaire). L'expression reste invariante si l'on continue à tourner jusqu'à revenir à l'expression initiale.

Par exemple, considérons l'expression : $x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x-xyz$

Plaçons les trois variables sur un cercle :

En tournant, par exemple dans le sens horaire, nous voyons que :

$x$ est remplacé par $y$.

$y$ est remplacé par $z$.

$z$ est remplacé par $x$.

L'expression devient alors :

$y^{2}z+z^{2}x+x^{2}y-yzx$

mais si l’on regarde bien, c'est toujours la même expression.

Si l'on continue à tourner, on obtient :

$z^{2}x+x^{2}y+y^{2}z-zxy$

et c'est encore la même expression.

Si on continue à tourner encore une fois, on retombe sur l'expression de départ.

On a donc bien affaire à une expression invariante par permutation circulaire des variables $x$, $y$ et $z$.

Nous avons alors les deux règles suivantes :

Modèle:Propriété C'est évident, mais si l'on prend la peine de le préciser, c'est parce que cette règle est utile, ne serait-ce que pour détecter des erreurs lorsque l'on transforme une expression invariante par permutation circulaire et que l'on constate que l'expression obtenue n'est plus invariante par permutation circulaire.

Modèle:Propriété

Parité par rapport à une variable

Nous avons la définition suivante : Modèle:Définition Par exemple l'expression :

$a^{2}b-b^3+a^{4}b$

est paire par rapport à $a$ et impaire par rapport à $b$

Là aussi cette règle permet de détecter des erreurs si l'on constate que la parité par rapport à une variable n'est pas la même dans le résultat qu'au début.

Cette règle peut aussi permettre certaines opérations.

Polynôme symétrique

Un polynôme est symétrique par rapport à certaines variables si une permutation quelconque de deux de ces variables laisse le polynôme inchangé. Si les variables ne sont pas précisées, alors le polynôme est symétrique par rapport à toutes les variables.

Par exemple :$a^3+b^3+c^3-5ab-5ac-5bc+3$ est un polynôme symétrique.

$a^3+b^3+c^3-5ab-5ac+7bc+3$ est un polynôme symétrique par rapport aux variables $b$ et $c$.

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