Expressions algébriques/Exercices/Fractions rationnelles

Exercice 6-1

Simplifier les expressions :

a)  $\frac{a^2}{(a-b)(a-c)}+\frac{b^2}{(b-c)(b-a)}+\frac{c^2}{(c-a)(c-b)}$

b)  $\frac{a}{(a-b)(a-c)}+\frac{b}{(b-c)(b-a)}+\frac{c}{(c-a)(c-b)}$

c)  $\frac{bc}{(a-b)(a-c)}+\frac{ac}{(b-c)(b-a)}+\frac{ab}{(c-a)(c-b)}$

d)  $\frac{a^3}{(a-b)(a-c)}+\frac{b^3}{(b-c)(b-a)}+\frac{c^3}{(c-a)(c-b)}$

e)  $\frac{b^2{c}^2}{(a-b)(a-c)}+\frac{a^2{c}^2}{(b-c)(b-a)}+\frac{a^2{b}^2}{(c-a)(c-b)}$

Exercice 6-2

Simplifier les expressions :

a)  $\frac{(a^2-b^2-c^2-2bc)(a+b-c)}{(a+b+c)(a^2+c^2-2ac-b^2)}$

b)  $\frac{x^3-x^2-x+1}{x^4-x^3-3x^2+5x-2}$

c)  $\frac{a^2-3ab+ac+2b^2-2bc}{a^2-b^2+2bc-c^2}$

d)  $\frac{ab(x^2+y^2)+xy(a^2+b^2)}{ab(x^2-y^2)+xy(a^2-b^2)}$

e)  $\frac{a^5+a^2{b}^3-a^{4}b-a{b}^4}{a^4-a^2{b}^2+a^{3}b-a{b}^3}$

Exercice 6-3

Simplifier l'expression :

$\frac{2a^{2}c+2b^{2}c+abc-a^3-b^3-c^3}{ab+ac+bc+c^2-a^2-b^2}$

Exercice 6-4

Montrer que si l'on a :

$\frac{b-c}{y-z}+\frac{c-a}{z-x}+\frac{a-b}{x-y}=0$,

on a aussi :

$(b-c)(y-z{)}^2+(c-a)(z-x{)}^2+(a-b)(x-y{)}^2=0$.

Exercice 6-5

Étant donnée la relation liant $x$ à $y$ :

$y=\frac{ax+b}{cx+d}$,

$a,b,c,d$ étant des constantes et $ad-bc\ne 0$,

on remplace $x$ successivement par quatre valeurs distinctes $x_1,x_2,x_3,x_4$ ;

$y$ prend les quatre valeurs correspondantes $y_1,y_2,y_3,y_4$.

Démontrer que l'on a :

$\frac{\frac{y_3-y_1}{y_3-y_2}}{\frac{y_4-y_1}{y_4-y_2}}=\frac{\frac{x_3-x_1}{x_3-x_2}}{\frac{x_4-x_1}{x_4-x_2}}$. Modèle:Solution