Espaces vectoriels normés/Exercices/Applications linéaires continues

Exercice 2-1

On considère l'application linéaire $u:{ℝ}^2\to {ℝ}^2$ définie par $u(x,y)=(x+y,x-y)$. Calculer la norme d'opérateur $|||u|||$ associée, selon que l'on munit ${ℝ}^2$ de la norme $\Vert \cdot {\Vert }_2$, de la norme $\Vert \cdot {\Vert }_{\mathrm{\infty }}$ ou de la norme $\Vert \cdot {\Vert }_1$. Modèle:Solution On considère la matrice $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)$. Calculer la norme d'opérateur de $A$ lorsqu'on prend sur ${ℝ}^2$ la norme $\Vert \cdot {\Vert }_1$, puis la norme $\Vert \cdot {\Vert }_{\mathrm{\infty }}$. Modèle:Solution

Exercice 2-2

$E=𝒞([-1,1],ℝ)$ muni de la norme $\Vert \cdot {\Vert }_{\mathrm{\infty }}$ de la convergence uniforme.

$\begin{array}{ccccc}\phi & :& E& \to & ℝ\\ & & f& \mapsto & \underset{-1}{\overset{1}{\int }}\frac{tf(t)}{1+t^2}\mathrm{d}t.\end{array}$

Montrer que $\phi \in ℒ(E,ℝ)$ et calculer $|||\phi |||$. Modèle:Solution

Exercice 2-3

Soient $E$ un $K$-espace vectoriel normé et $u:E\to K$ une forme linéaire. Montrer que $u$ est continue si et seulement si son noyau est fermé. Modèle:Solution

Exercice 2-4

Soit $E=C([0,1])$ l'espace vectoriel des fonctions continues sur $[0,1]$, muni de la norme

$\Vert u{\Vert }_1=\underset{0}{\overset{1}{\int }}|u(t)|\mathrm{d}t$.

On considère l'application linéaire $\mathrm{\Phi }:E\to E$ définie par $\mathrm{\Phi }u(t)=tu(t)$, pour $u\in E$.

1. Montrer que $\mathrm{\Phi }$ est continue et $|||\mathrm{\Phi }|||\le 1$.
2. En considérant la suite $(u_n{)}_n$ définie par $u_n(t)=(n+1)t^n$, montrer que $|||\mathrm{\Phi }|||=1$.
3. Montrer qu'il n'existe pas de fonction $u\in E$ non nulle telle que $\Vert \mathrm{\Phi }u{\Vert }_1=\Vert u{\Vert }_1$.