Espaces vectoriels normés/Compacité

Dans ce chapitre, nous allons étudier une nouvelle notion topologique : la compacité. Intuitivement, un espace sera dit compact s'il se comporte de manière similaire à un ensemble fini, notamment dans le comportement des fonctions définies sur cet espace. Par exemple, une fonction continue sur un compact sera bornée et atteindra ses bornes.

Dans toute la suite, E est un ℝ-espace vectoriel normé. Modèle:Clr

Définitions

Remarque

On définit de même des recouvrements fermés, bornés, etc.

Valeurs d'adhérence

Dans un e.v.n. ou plus généralement dans un espace métrique, on a :

Rappelons que si une suite converge vers $a$ alors toutes ses sous-suites convergent vers $a$. Par conséquent (d'après la proposition ci-dessus), $a$ est alors son unique valeur d'adhérence.

Dans un e.v.n. ou plus généralement dans un espace métrique, on a en outre une caractérisation séquentielle de la compacité : Modèle:Théorème

Exemples d'applications : Modèle:Proposition