Espaces de Banach/Exercices/Théorème de Banach-Steinhaus

Exercice 5-1

On définit le produit de Cauchy $a*b$ de deux suites $a$ et $b$ de nombres complexes par : $(a*b{)}_n=\sum _{i+j=n}{a}_i{b}_j$. On sait (théorème de Mertens) que si $\sum _{n\in \mathbb{N}}|a_n|<\mathrm{\infty }$ alors, pour toute série convergente $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{b}_n$, la série $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(a*b{)}_n$ converge. Démontrer la réciproque. Modèle:Solution

Exercice 5-2

Montrer par trois contre-exemples que dans le théorème de Banach-Steinhaus, on ne peut omettre aucune des hypothèses :

1. l'espace de départ est complet ;
2. les applications considérées sont continues ;
3. les applications considérées sont linéaires.

Exercice 5-3

Soit $C(ℝ/2\pi \mathbb{Z})$ l'espace des applications continues $2\pi$-périodiques de $ℝ$ dans $ℝ$, muni de la norme sup. On rappelle que pour toute fonction $f\in {\mathrm{L}}^1(ℝ/2\pi \mathbb{Z})$, la $n$-ième somme partielle $S_n(f)$ de la série de Fourier est la Modèle:W par le Modèle:W :

$S_n(f)(x)=\frac{1}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}f(t)D_n(x-t)\mathrm{d}t\mathrm{a}\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{c}{D}_n(t)=\frac{\sin ((2n+1)\frac{t}{2})}{\sin \frac{t}{2}}$.

Pour $x$ fixé, on note $L_n$ la norme de la forme linéaire $C(ℝ/2\pi \mathbb{Z})\to ℝ,f\mapsto S_n(f)(x)$. Montrer que :

1. $L_n=\Vert D_n{\Vert }_1$ ;
2. $L_n\to +\mathrm{\infty }$ ;
3. il existe dans $C(ℝ/2\pi \mathbb{Z})$ une fonction dont la série de Fourier au point $x$ diverge ;
4. Dans $C(ℝ/2\pi \mathbb{Z})$, l'ensemble des fonctions dont la série de Fourier en $x$ diverge est même dense.

Exercice 5-4

Soient $E$ l'espace de Banach des fonctions continues sur $[-\pi ,\pi ]$ muni de la norme uniforme $\Vert \cdot {\Vert }_{\mathrm{\infty }}$, et ${\ell }^1(\mathbb{Z})$ l'espace de Banach des suites (indexées par $\mathbb{Z}$) absolument sommables muni de la norme $\Vert \cdot {\Vert }_1$ définie par $\Vert a{\Vert }_1=\sum _{k\in \mathbb{Z}}|a_k|$. Pour tout $f\in E$, on note $c(f)=(c_k(f){)}_{k\in \mathbb{Z}}$ la suite des coefficients de Fourier de $f$, définis par $c_k(f)=\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}f(x){\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}kx}\mathrm{i}dx$.

Pour tout $N\subset \mathbb{Z}$, on note $E_N:=\{f\in E\mid \mathrm{\forall }k\in ̸N{c}_k(f)=0\}$.

1. Montrer que $E_N$ muni de la norme $\Vert \cdot {\Vert }_{\mathrm{\infty }}$ est un espace de Banach.
2. On dit que $N$ est un ensemble de Sidon si $c(E_N)\subset {\ell }^1(\mathbb{Z})$. Montrer qu'alors, il existe une constante $M$ telle que pour tout $f\in E_N$, $\Vert c(f){\Vert }_1\le M\Vert f{\Vert }_{\mathrm{\infty }}$.
   Indication : on pourra introduire la suite d'applications $L^{(n)}:E_N\to {\ell }^1(\mathbb{Z})$ définies par $L^{(n)}(f{)}_k=c_k(f)$ si $|k|\le n$ et 0 sinon, et appliquer Banach-Steinhaus.

Exercice 5-5

Soit $f\in {\mathrm{L}}^2([0,1],\mathrm{d}x)$ une fonction satisfaisant la propriété (P) suivante :

(P) $\mathrm{\forall }g\in {\mathrm{L}}^2([0,1],\mathrm{d}x)fg\in {\mathrm{L}}^2([0,1],\mathrm{d}x)$.

On pose $T_f(g)=fg$. Ainsi, $T_f$ est une application linéaire de ${\mathrm{L}}^2([0,1],\mathrm{d}x)$ dans lui-même.

1. Donner un exemple de fonction $f$ qui ne vérifie pas (P).
2. Montrer que si $f$ vérifie (P) alors $T_f$ est continue. (On pourra introduire les fonctions bornées $f_n:=\frac{f}{|f|}\min (|f|,n)$ et les opérateurs $T_{f_n}$).