Espaces de Banach/Exercices/Dual topologique

Exercice 1-1

Soient $X$ un espace topologique, $E={𝒞}_b(X,ℝ)$ l'espace de Banach des fonctions continues bornées, muni de la norme de la convergence uniforme, $(x_n)$ une suite de points de $X$ et $\sum _{n\in \mathbb{N}}{a}_n$ une série absolument convergente de nombres réels distincts. Pour tout $f\in E$, on pose

$T(f)=\sum _{n\in \mathbb{N}}{a}_{n}f(x_n)$.

1. Montrer que $T$ est une forme linéaire continue sur $E$, de norme $\le \sum _{n\in \mathbb{N}}|a_n|$.
2. Montrer que $|||T|||=\sum _{n\in \mathbb{N}}|a_n|$.

Exercice 1-2

Modèle:Wikipédia Modèle:Wikipédia On rappelle que ${\ell }^p:={\ell }^p(\mathbb{N},ℂ)$, $1<p<\mathrm{\infty }$ désigne l'espace des suites $x=(x_n)$ de nombres complexes telles que

$\Vert x{\Vert }_p:={(\sum _{n\in \mathbb{N}}|x_n{|}^p)}^{1/p}<\mathrm{\infty }$.

Toute forme linéaire continue $T\in \left({\ell }^p\right)$ peut s'écrire

$Tx=\sum _{n\in \mathbb{N}}{x}_n{y}_n,\mathrm{\forall }x=(x_n)\in {\ell }^p$

où $y=(y_n)\in {\ell }^q$ avec $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$.

1. Montrer que dans l'espace ${\ell }^q$, le sous-espace des suites de support fini est dense.
2. Montrer qu'une suite $(x_k{)}_k$ d'éléments $x_k=(x_{k,n}{)}_n$ de ${\ell }^p$ converge faiblement vers $x=(x_n{)}_n\in {\ell }^p$ si et seulement si elle vérifie les deux conditions suivantes :
   1. la suite $(x_k{)}_k$ est bornée ;
   2. pour tout entier $n$, la suite $(x_{k,n}{)}_k$ converge vers $x_n$ (dans $ℂ$).
3. En déduire que toute suite bornée de ${\ell }^p$ admet une sous-suite faiblement convergente.

Exercice 1-3

Soient H un espace de Hilbert et C un convexe de H. Montrer que C est fermé si et seulement s'il est faiblement séquentiellement fermé, c'est-à-dire si pour toute suite $(x_n{)}_n$ dans C qui converge faiblement (dans H) vers $x$, la limite $x$ appartient à C. Modèle:Solution

Exercice 1-4

Soient E un espace de Banach et $(x_n{)}_{n\ge 0}$ une suite de E qui converge faiblement vers $x\in E$. Soient ${\phi }_n,\phi \in E^{\prime }$.

1. Si ${\phi }_n\to \phi$ (fortement), montrer que $⟨{\phi }_n,x_n⟩\to ⟨\phi ,x⟩$.
2. Cette conclusion subsiste-t-elle si l'on suppose seulement que ${\phi }_n\to \phi$ faiblement ?

Exercice 1-5

Soit E l'espace de Banach des fonctions continues sur [0, 1]. On rappelle que par le théorème de Riesz-Markov, le dual topologique de E s'identifie à l'espace des mesures boréliennes finies sur [0, 1].

Soit $(f_n{)}_{n\ge 1}$ la suite des fonctions définies par

$f_n(x)=\{\begin{array}{cc}1-nx& \text{si }x\in [0,\frac{1}{n}],\\ 0& \text{si }x\in [\frac{1}{n},1].\end{array}$

1. Montrer que la suite $(f_n{)}_{n\ge 1}$ est décroissante et converge vers la fonction $f$ définie par $f(x)=0$ si $x\in ]0,1]$ et $f(0)=1$.
2. Montrer que pour tout $\mu \in E^{\prime }$, $(\mu (f_n){)}_{n\ge 1}$ converge dans $ℝ$.
3. En considérant les mesures de Dirac, montrer que $(f_n{)}_{n\ge 1}$ n'est pas faiblement convergente dans E.

Exercice 1-6

Soit H un espace de Hilbert et C une partie de H, convexe, non vide, fermée et bornée. Soit $T:C\to C$ une application telle que pour tout $x,y\in C$, $\Vert T(x)-T(y)\Vert \le \Vert x-y\Vert$.

1. Soit $a\in C$. Pour tout $n\ge 1$, on définit $T_n(x)=\frac{1}{n}a+\frac{n-1}{n}T(x)$, pour $x\in C$. Montrer que $T_n$ est strictement contractante, et en déduire qu'il existe un unique point $x_n\in C$ tel que $T_n(x_n)=x_n$.
2. Montrer qu'il existe une suite extraite $(x_{n_k}{)}_{k\ge 1}$ de $(x_n{)}_{n\ge 1}$ qui converge faiblement vers un certain $x\in H$.
3. On pose $y_n=x_n-a$ (pour tout $n\ge 1$) et $y=x-a$. Montrer que pour tout $m\ge 2$, $T(x_m)=\frac{m}{m-1}{x}_m-\frac{1}{m-1}a$, et en déduire que $(\frac{n^2}{(n-1{)}^2}-1)\Vert y_n{\Vert }^2+(\frac{n_k^2}{(n_k-1{)}^2}-1)\Vert y_{n_k}{\Vert }^2\le 2\mathrm{Re}⟨y_n,y_{n_k}⟩(\frac{n}{n-1}\frac{n_k}{n_k-1}-1)$.
4. En déduire que $\Vert y_n{\Vert }^2\le \frac{2n-2}{2n-1}\mathrm{Re}⟨y_n,y⟩$.
5. En déduire que la suite $(x_{n_k}{)}_{k\ge 1}$ converge fortement vers $x$, que $x\in C$, et que $T(x)=x$.