Espace vectoriel/Exercices/Espaces et sous-espaces vectoriels

• $K$ désigne $ℝ$ ou $ℂ$
• E est un $K$-espace vectoriel.

Être ou ne pas être un espace vectoriel ?

1. Les espaces suivants sont-ils des sous-espaces vectoriels de ${ℝ}^2$ ?

a. $E_{1a}=\{(x,y)\in {ℝ}^2\mid x-y\ge m\}$ (où $m$ est un réel fixé)

b. $E_{1b}=\{(x,y)\in {ℝ}^2\mid xy=0\}$

c. $E_{1c}=\{(x,y)\in {ℝ}^2\mid x=y\}$

d. $E_{1d}=\{(x,y)\in {ℝ}^2\mid x+y=1\}$

e. $E_{1d}=\{(x,y)\in {ℝ}^2\mid \sin x=y\}$

2. Les espaces suivants sont-ils des sous-espaces vectoriels de ${ℝ}^{\mathbb{N}}$ ?

a. E_2a = Ensemble des suites bornées

b. E_2b = Ensemble des suites monotones

c. E_2c = Ensemble des suites convergentes

d. E_2d = Ensemble des suites arithmétiques

3. Les espaces suivants sont-ils des sous-espaces vectoriels de ${ℝ}^{ℝ}$ ?

a. $E_{3a}=\{f\in {ℝ}^{ℝ}\mid f\text{ monotone}\}$

b. $E_{3b}=\{f\in {ℝ}^{ℝ}\mid f\text{ s'annule en }0\}$

c. $E_{3c}=\{f\in {ℝ}^{ℝ}\mid f\text{ s'annule}\}$

d. $E_{3d}=\{f\in {ℝ}^{ℝ}\mid f\text{ est impaire}\}$

4. Les espaces suivants sont-ils des sous-espaces vectoriels de ${\mathrm{M}}_2(ℝ)$ ?

a. $E_{4a}=$ le sous-ensemble des matrices $A$ vérifiant $A\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)$

b. $E_{4b}=$ le sous-ensemble des matrices $A$ vérifiant $A\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$

Exercice 1-1

Soient $F=\{(x,y,z)\in {ℝ}^3\mid x+y-z=0\}$ et $G=\{(a-b,a+b,a-3b)\mid (a,b)\in {ℝ}^2\}$.

1. Montrer que F et G sont des sous-espaces vectoriels de ${ℝ}^3$.
2. Déterminer $F\cap G$.

Exercice 1-2

Soient F et G deux sous-espaces vectoriels de E. Montrer que $F\cap G=F+G\iff F=G$. Modèle:Solution

Exercice 1-3

Soient $F$ et $G$ deux sous-espaces vectoriels de $E$. Montrer que $F\cup G$ est un sous-espace vectoriel de $E$ (si et) seulement si $F\subset G$ ou $G\subset F$.

Exercice 1-4

Soient $F=\{f\in 𝒞([-1,1],ℂ)|\underset{-1}{\overset{1}{\int }}f=0\}$ et $G=\{f\in 𝒞([-1,1],ℂ)\mid f\text{ constante}\}$.

Montrer que ces deux sous-espaces de $𝒞([-1,1],ℂ)$ sont supplémentaires. Modèle:Solution

Exercice 1-5

Soit $Q\in ℝ[X]$, $Q\ne 0$. Montrer que les sous-espaces $A:=\{P\in ℝ[X];Q\mid P\}$ et $B:=\{P\in ℝ[X];\mathrm{deg}(P)<\mathrm{deg}(Q)\}$ sont supplémentaires dans $ℝ[X]$. Modèle:Solution

Exercice 1-6

Soit ${ℝ}_{+}^{*}$ muni de la loi interne $\oplus$ définie par $a\oplus b=ab(\mathrm{\forall }a,b\in {ℝ}_{+}^{*})$ et de la loi externe $\otimes$ définie par $\lambda \otimes a=a^{\lambda }(\mathrm{\forall }a\in {ℝ}_{+}^{*},\mathrm{\forall }\lambda \in ℝ)$.

Montrer que $E:=({ℝ}_{+}^{*},\oplus ,\otimes )$ est un $ℝ$-espace vectoriel. Modèle:Solution

Exercice 1-7

Soient $n\in {\mathbb{N}}^{*}$ et $E={ℝ}_n[X]$ l'espace vectoriel des polynômes de degré $\le n$. On définit (pour tout réel $a$)

$E_a=\{P\in E,(X-a)\mid P\}$.

Montrer que si $a\ne b$ alors $E=E_a+E_b$. La somme est-elle directe ? Modèle:Solution

Exercice 1-8

Soient $D,D^{\prime }$ deux droites d'un même espace vectoriel. Montrer que si un vecteur non nul appartient à $D\cap D^{\prime }$, alors $D=D^{\prime }$. Modèle:Solution

Exercice 1-9

Soient $u=(1,2,3,4)$ et $v=(1,-2,3,-4)$.

1. Déterminer l'ensemble des couples $(x,y)\in {ℝ}^2$ tels que $(x,1,y,1)\in \mathrm{Vect}(u,v)$.
2. Même question pour les couples tels que $(x,1,1,y)\in \mathrm{Vect}(u,v)$.

Modèle:Solution Déterminer des équations cartésiennes des sous-espaces vectoriels suivants :

• $F=\mathrm{Vect}((1,3,-1))\subset {ℝ}^3$ ;
• $G=\mathrm{Vect}((1,2,3),(1,0,1))\subset {ℝ}^3$ ;
• $H=\mathrm{Vect}((1,0,1,0),(2,1,3,1),(1,1,2,1))\subset {ℝ}^4$ ;
• $I=\mathrm{Vect}((1,-2))\subset {ℝ}^2$ ;
• $J=\mathrm{Vect}((1,0,1),(0,2,-3))\subset {ℝ}^3$ ;
• $K=\mathrm{Vect}((1,1,1))\subset {ℝ}^3$ ;

Exercice 1-10

Soient $U,V,W$ trois s.e.v. de $E$. On va comparer trois propriétés :

• $(i):U\cap V=\{0\}=(U+V)\cap W$ ;
• $(ii):V\cap W=\{0\}=(V+W)\cap U$ ;
• $(iii):\mathrm{\forall }x\in U+V+W\mathrm{\exists }!(u,v,w)\in U\times V\times Wx=u+v+w$.

a) Démontrer que $(i)$ équivaut à $(iii)$.

b) En déduire que $(i)$ équivaut à $(ii)$. Modèle:Solution