Espace préhilbertien réel/Exercices/Polynômes de Laguerre

Exercice 3-1

On travaille dans $E = ℝ [X]$ muni du produit scalaire $⟨ f, g ⟩ = \int_{0}^{+ \infty} f (x) g (x) e^{- x} d x$ .

On définit, pour tout $n \in ℕ$ , le n-ième polynôme de Laguerre $L_{n}$ par :

\forall x \in ℝ L_{n} (x) = \frac{e^{x}}{n!} \frac{d^{n}}{d x^{n}} (e^{- x} x^{n})

.

Vérifier que $⟨ \cdot, \cdot ⟩$ est bien un produit scalaire sur E.
Calculer L₀, L₁, L₂ et L₃.
Montrer que $(L_{n})_{n \in ℕ}$ est une famille orthonormale de $ℝ [X]$
Montrer que pour tout $n \in ℕ$ , L_n vérifie l'équation différentielle $(E_{1}) : x {L_{n}}^{″} (x) + (1 - x) {L_{n}}^{'} (x) + n L_{n} (x) = 0$ .
Montrer que L vérifie l'équation $(E_{2}) : \forall n \in ℕ \forall x \in ℝ (n + 1) L_{n + 1} (x) + (x - 2 n - 1) L_{n} (x) + n L_{n - 1} (x) = 0$ .

On considère l'espace de Hilbert $H = L^{2} (ℝ_{+}, μ)$ où

d μ (x) = e^{- x} 1_{ℝ_{+}} d λ (x)

,

$λ$ étant la mesure de Lebesgue sur $ℝ$ .

On définit pour tout $n \in ℕ$ et $x \in ℝ_{+}$ ,

L_{n} (x) = \frac{e^{x}}{n!} \frac{d^{n}}{d x^{n}} (x^{n} e^{- x})

.

Montrer que $L_{n}$ est un polynôme de degré $L_{n}$ et donner son coefficient dominant.
1. Calculer le produit scalaire $⟨ X^{k}, L_{n} ⟩$ pour tout $0 \leq k \leq n$ .
2. En déduire que $(L_{n})_{n \in ℕ}$ est une famille orthonormale de $H$ .
Montrer que pour tout $α \in ℝ_{+}$ , $\sum_{n \geq 0} {(\int_{ℝ_{+}} e^{- α x} L_{n} (x) e^{- x} d x)}^{2} = \frac{1}{2 α + 1}$ .
En déduire que $f_{α} : x \mapsto e^{- α x}$ appartient à l'adhérence de $Vect ((L_{n})_{n \in ℕ})$ dans $H$ .
Soit $f \in C_{0} (ℝ_{+})$ l'espace des fonctions nulles à l'infini. En appliquant le théorème de Stone-Weierstrass à la fonction $g : [0, 1] \to ℝ$ définie par $g (x) = f (- \ln x)$ si $x \neq 0$ et $g (0) = 0$ , montrer que la suite $(f_{n})_{n \in ℕ}$ est totale dans $C_{0} (ℝ_{+})$ pour la norme $‖ \cdot ‖_{\infty}$ .
Montrer que $(L_{n})_{n \geq 0}$ est une base hilbertienne de $H$ .