Espace préhilbertien réel/Exercices/Produit scalaire

Exercice 6-1

Soit $n$ un entier supérieur ou égal à $2$. Démontrer que pour tous réels $x_1,\dots ,x_n$, on a :

$\sum _{1\le i<j\le n}{x}_i{x}_j\le \frac{n-1}{2}\sum _{i=1}^n{x}_i^2$.

Exercice 6-2

Soient $a,b,c$ trois nombres réels strictement positifs. Démontrer l'inégalité suivante :

$\sqrt{\frac{2a}{a+b}}+\sqrt{\frac{2b}{b+c}}+\sqrt{\frac{2c}{a+c}}\le 3$.

Exercice 6-3

Soient $a,b,c\in ℝ$.

1. Montrer que $|6a+3b+2c|\le 7\sqrt{a^2+b^2+c^2}$. Quand a-t-on égalité ?
2. Montrer que $2a+3b+4c\le \sqrt{29(a^2+b^2+c^2)}$. Quand a-t-on égalité ?
3. Montrer que $a+b+c\le 7\sqrt{a^2+b^2+c^2}$. Quand a-t-on égalité ?
4. Montrer que $3a+4b\le 5\sqrt{a^2+b^2+c^2}$. Quand a-t-on égalité ?