Espace euclidien/Exercices/Orthonormalisation de Gram-Schmidt

Exercice 4-1

Pour chaque espace euclidien $E$ muni d'un produit scalaire $\phi$ :

• appliquer la méthode de Gram-Schmidt à la famille libre $F$ afin de produire une base orthonormée pour l'espace vectoriel engendré $\mathrm{Vect}(F)$ ;
• calculer la projection orthogonale de $v\in E$ sur $\mathrm{Vect}(F)$ ;
• donner les équations de $\mathrm{Vect}(F)$.

1. $E={ℝ}^3$, $\phi$ le produit scalaire usuel, $F=((1,0,-1),(1,-1,0))$ et $v=(1,1,1)$.
2. $E={ℝ}^4$, $\phi$ le produit scalaire usuel, $F=((1,1,0,0),(1,0,-1,1),(0,1,1,1))$, $v=(1,1,1,1)$.
3. $E={ℝ}^3$, $\phi (x,y)=3x_1{y}_1-x_1{y}_2-x_2{y}_1+3x_2{y}_2+3x_3{y}_3$, $F=((1,0,0),(0,1,0))$ et $v=(0,0,1)$.
4. $E={ℝ}_3[X]$, $\phi (P,Q)=\underset{-1}{\overset{1}{\int }}P(X)Q(X)\mathrm{d}X$, $F=(1,X,X^2)$, $v=X^3$.
5. $E={ℝ}_3[X]$, $\phi (P,Q)=\underset{0}{\overset{1}{\int }}P(X)Q(X)\mathrm{d}X$, $F=(1,X,X^2)$, $v=X^3$.

Exercice 4-2

1. Trouver une base orthonormée de $E={ℝ}_3[X]$ pour le produit scalaire $\phi (P,Q)=\underset{-1}{\overset{1}{\int }}P(x)Q(x)\mathrm{d}x$.
2. Pour tout réel $t$, montrer qu'il existe un polynôme $Q_t$ tel que $\mathrm{\forall }P\in EP(t)=\phi (P,Q_t)$. Déterminer explicitement $Q_t$ en fonction de $t$.

Exercice 4-3

Trouver une base orthonormée de $E={ℝ}_3[X]$ pour le produit scalaire $\phi (P,Q)=\sum _{i=0}^{3}P(i)Q(i)$. Modèle:Solution

Exercice 4-4

On définit un produit scalaire sur $E:={ℝ}_n[X]$ par :

$\mathrm{\forall }P,Q\in E⟨P,Q⟩=\underset{0}{\overset{1}{\int }}P(t)Q(t)\mathrm{d}t$.

Soit $f$ la forme linéaire sur $E$ définie par

$f(P)=P(1/3)$.

On sait (théorème de représentation de Riesz) qu'il existe un unique $Q\in E$ tel que $\mathrm{\forall }P\in Ef(P)=⟨P,Q⟩$.

Pour $n=1,2,3$, calculer $Q$. Modèle:Solution

Dans ${ℝ}^{n+1}$ euclidien canonique, soit $E$ l'hyperplan d'équation $x_0+\dots +x_n=0$.

Trouver l'unique $y\in E$ tel que $\mathrm{\forall }x=(x_0,\dots ,x_n)\in E⟨x,y⟩=x_0$.

Même question pour $x_1$ et pour $x_0-2x_1$. Modèle:Solution

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