Espace euclidien/Exercices/Adjoints et réduction spectrale

Exercice 6-1

Soit $E={ℝ}_1[X]$, et soit $u$ l'endomorphisme de $E$ défini par $u(P)=P-P^{\prime }$. Déterminer l'adjoint de $u$ pour les produits scalaires

$\phi (P,Q)=P(0)Q(0)+P^{\prime }(0)Q^{\prime }(0)\mathrm{e}\mathrm{t}\psi (P,Q)=\underset{0}{\overset{1}{\int }}P(t)Q(t)\mathrm{d}t$.

Exercice 6-2

Diagonaliser dans une base orthonormée la matrice

$A=\left(\begin{array}{ccc}6& -2& 2\\ -2& 5& 0\\ 2& 0& 7\end{array}\right)$.

Modèle:Solution Même question pour la forme quadratique $q(x,y,z)=4x^2+7y^2+4z^2+4xy-2xz-4yz$. Modèle:Solution

Exercice 6-3

On se place dans $E={ℝ}_n[X]$ muni du produit scalaire $\phi (P,Q)=\underset{-1}{\overset{1}{\int }}P(x)Q(x)\mathrm{d}x$.

Soit $u$ l'endomorphisme de $E$ défini par

$u(P)(X)=2X{P}^{\prime }(X)+(X^2-1)P^{″}(X)$.

1. Montrer que $u$ est diagonalisable et que si $A$ et $B$ sont des vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes, alors $\phi (A,B)=0$.
2. Diagonaliser $u$ pour $n\le 3$.

Exercice 6-4

On considère la matrice

$M=\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{2}& \frac{1}{4}& \frac{1}{4}\\ \frac{1}{4}& \frac{1}{3}& \frac{5}{12}\\ \frac{1}{4}& \frac{5}{12}& \frac{1}{3}\end{array}\right)$.

1. Montrer que la suite $(M^n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ converge. Que représente sa limite $N$ ?
2. Calculer $N$.
3. Soit $(v_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ une suite de vecteurs tels que $v_{n+1}=M(v_n)$. Converge-t-elle ? Si oui, quelle est sa limite ?

Exercice 6-5

Soient $a$ et $b$ des nombres réels. Diagonaliser la matrice

$M=\left(\begin{array}{ccc}a& b& b\\ b& a& b\\ b& b& a\end{array}\right)$.

En déduire $M^n$ pour tout entier $n$. Modèle:Solution

Exercice 6-6

On se place dans ${\mathrm{M}}_n(ℝ)$. Soit $M$ une matrice symétrique définie positive.

1. Montrer qu'il existe une matrice symétrique définie positive $N$ telle que $M=N^2$.
2. Montrer que $N$ est unique.
3. Calculer $N$ lorsque $M=\left(\begin{array}{cc}5& 2\\ 2& 1\end{array}\right)$.

Exercice 6-7

Soient $A$ et $B$ deux matrices symétriques d'ordre $n$. On note ${\alpha }^{-}$ et ${\beta }^{-}$ leurs plus petites valeurs propres, ${\alpha }^{+}$ et ${\beta }^{+}$ leurs plus grandes valeurs propres. Montrer que pour toute valeur propre $\gamma$ de la matrice $A+B$, on a ${\alpha }^{-}+{\beta }^{-}\le \gamma \le {\alpha }^{+}+{\beta }^{+}$. Modèle:Solution

Exercice 6-8

$E={\mathrm{M}}_n(ℝ)$ est muni de son produit scalaire canonique : $⟨M\mid N⟩=\mathrm{tr}({}^{\mathrm{t}}MN)$.

Soient $A,B\in E$. Soit $\varphi :E\to E,M\mapsto AMB$.

Déterminer l'adjoint de $\varphi$. Modèle:Solution

Soient $E$ un espace euclidien de dimension $n$, $\mathrm{L}(E)$ l'espace des endomorphismes de $E$, muni du produit scalaire $⟨x,y⟩:=Trace(x^{*}y)$, et $S(E)$ le sous-espace des endomorphismes symétriques. Pour tout $a\in \mathrm{L}(E)$, on note $g_a$ l'endomorphisme de $S(E)$ défini par $g_a(x)=ax{a}^{*}$.

1. Montrer que $g_{ab}=g_a{g}_b$.
2. Calculer l'adjoint de $g_a$, et montrer que $g_a$ est orthogonal si et seulement si $a$ l'est.
3. Si $a$ est symétrique, calculer le déterminant de $g_a$.

Exercice 6-8

Soit $h\in \mathrm{L}({ℝ}^n)$. Montrer qu'il existe une base orthonormée $(e_1,\dots ,e_n)$ de ${ℝ}^n$ telle que les $h(e_i)$ soient orthogonaux deux à deux. Modèle:Solution

Exercice 6-9

Modèle:Wikipédia Soient $A,B\in {\mathrm{M}}_n(ℝ)$. On suppose $A$ symétrique définie positive et $B$ symétrique.

1. Montrer qu'il existe $P\in {\mathrm{G}\mathrm{L}}_n(ℝ)$ et $D$ diagonale telles que $P^t.A.P={\mathrm{I}}_n$ et $P^t.B.P=D$.
2. En déduire que $A^{-1}B$ est diagonalisable dans ${\mathrm{M}}_n(ℝ)$, ainsi que $AB$.

1. Soit $u$ un endomorphisme symétrique d'un espace euclidien $E$ de dimension $n$. Montrer que $\phi :E\setminus \{0\}\to ℝ,x\mapsto ⟨u(x)\mid x⟩/\Vert x{\Vert }^2$ atteint ses bornes inférieure et supérieure et déterminer ces bornes en fonction du spectre de $u$.
2. Déterminer les bornes de la fonction $\phi :{ℝ}^2\setminus \{0\},(x,y)\mapsto \frac{x^2+xy+y^2}{x^2-xy+y^2}$.

Exercice 6-10

Soient $A,B$ deux matrices symétriques réelles de valeurs propres $\ge 0$.

1. Montrer que les $A_{i,i}$ sont tous $\ge 0$ et même $>0$ si $A$ est inversible.
2. En déduire que $\mathrm{T}\mathrm{r}(AB)\ge 0$, et même $>0$ si $A,B$ sont inversibles.

Exercice 6-11

Soit $A\in {\mathrm{M}}_n(ℝ)$ symétrique.

1. Quelle est la forme du polynôme minimal $P(X)$ de $A$ ?
2. Si $A^k={\mathrm{I}}_n$ (avec $k\in {\mathbb{N}}^{*}$ choisi le plus petit possible), quelles sont les valeurs possibles pour $k$ et $P(X)$ ?

Exercice 6-12

Pour $a,b\in ℝ$, on note $M(a,b)=\left(\begin{array}{ccc}a& -a& b\\ -a& a& b\\ b& b& 0\end{array}\right)$.

1. Donner une base et la dimension du sous-espace $E:=\{M(a,b)\mid (a,b)\in {ℝ}^2\}$ de $M_3(ℝ)$.
2. Justifier (sans calcul) le fait que pour tous $a,b\in ℝ$, $M(a,b)$ est diagonalisable puis prouver l'existence d'une matrice inversible $P$ telle que $M(a,b)=P\mathrm{\Delta }(a,b)P^T$, où $\mathrm{\Delta }(a,b)$ est diagonale : $\mathrm{\Delta }(a,b)=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}(2a,b\sqrt{2},-b\sqrt{2})$. (Il n'est pas demandé d'expliciter $P$.)
3. Déterminer les matrices de $E$ qui sont orthogonales.
4. Soient $A=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{ccc}-1& 1& \sqrt{2}\\ 1& -1& \sqrt{2}\\ \sqrt{2}& \sqrt{2}& 0\end{array}\right)$ et $u$ l'endomorphisme de matrice $A$ dans la base canonique de l'espace euclidien usuel ${ℝ}^3$. Montrer que $u$ est une isométrie vectorielle dont on précisera la nature et les éléments caractéristiques.

Exercice 6-13

Soient $E$ un espace euclidien et $f\in \mathrm{L}(E)$ tel que $\mathrm{\forall }x\in E\Vert f(x)\Vert \le \Vert x\Vert$.

1. Soit $x\in \ker (f^{*}-\mathrm{i}\mathrm{d})$. Montrer que $\Vert f(x)-x{\Vert }^2=\Vert f(x){\Vert }^2-\Vert x{\Vert }^2$ et en déduire que $x\in \ker (f-\mathrm{i}\mathrm{d})$.
2. Montrer que $\mathrm{\forall }h\in \mathrm{L}(E)\mathrm{i}\mathrm{m}{h}^{\perp }\subset \ker h^{*}$.
3. En déduire que $\mathrm{i}\mathrm{m}(f-\mathrm{i}\mathrm{d}{)}^{\perp }=\ker (f-\mathrm{i}\mathrm{d})$.