Espace euclidien/Coniques

Définitions

Soit :

• Q une forme quadratique non nulle sur $\overrightarrow{𝒫}$
• l une forme linéaire sur $\overrightarrow{𝒫}$
• $\mathrm{O}\in 𝒫$
• $k\in ℝ$

Modèle:Définition

Dans un repère orthonormé $(O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ de $𝒫$, il existe $(a,b,c,d,e)\in {ℝ}^5$ tel que la conique s'écrive $\begin{array}{cccc}\{\mathrm{M}\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\in 𝒫,& \underbrace{a{x}^2+2bxy+c{y}^2}& +\underbrace{dx+ey}& \begin{array}{c}\\ \end{array}=k\}\\ & Q\left(\overrightarrow{OM}\right)& l\left(\overrightarrow{OM}\right)& \end{array}$

La matrice dans la base $(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ de l'endomorphisme autoadjoint u associé à Q est $\begin{array}{cc}a& b\\ b& c\end{array}$

Il existe une base $(\overrightarrow{I},\overrightarrow{J})$ de $\overrightarrow{𝒫}$ dans laquelle la matrice de u est $\begin{array}{cc}\lambda & 0\\ 0& \mu \end{array}$

Coniques

Coniques non dégénérées

Conique dégénérée

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