Ensemble (mathématiques)/Exercices/Ensembles et opérations

Exercice 2-1

Vrai ou faux ? (justifier la réponse !)

1. $𝒫(A\cup B)=𝒫(A)\cup 𝒫(B)$ ?
2. $𝒫(A\cap B)=𝒫(A)\cap 𝒫(B)$ ?
3. $𝒫(A\times B)=𝒫(A)\times 𝒫(B)$ ?
4. $A\times (B\cup C)=(A\times B)\cup (A\times C)$ ?
5. $A\cup (B\times C)=(A\cup B)\times (A\cup C)$ ?

Exercice 2-2

Démontrer les équivalences : $E\subset F\iff E=E\cap F\iff F=E\cup F$. À quelle condition a-t-on $E\cap F=E\cup F$ ? Modèle:Solution Démontrer l'équivalence : $A\cup B\subset A\cap C⟺B\subset A\subset C$. Modèle:Solution

Exercice 2-3

Pour tout $n\in {\mathbb{N}}^{*}$, notons $A_n$ le sous-ensemble de ${\mathbb{N}}^{*}$ formé des multiples de $n$.

1. Caractériser $A_n\cap A_m$, pour $m,n\in {\mathbb{N}}^{*}$.
2. Caractériser ${\cup }_{p\in 𝒫}{A}_p$ et ${\cap }_{p\in 𝒫}{A}_p$, où $𝒫$ désigne l'ensemble des nombres premiers.

Exercice 2-4

Soient $A,B,C$ trois ensembles.

1. Démontrer que si $A\cup B\subset A\cup C$ et $A\cap B\subset A\cap C$ alors $B\subset C$.
2. Démontrer l'équivalence $A\cap B=A\cap C⟺A\mathrm{\Delta }(B\cup C)=(A\mathrm{\Delta }B)\cup (A\mathrm{\Delta }C)$.

Exercice 2-5

À quelle condition a-t-on respectivement $E\times F=\varnothing$ ? $E\times F=\{a\}$ ? $\mathrm{card}(E\times F)=2$ ? Modèle:Solution

Exercice 2-6

Soient $A,B,C$ des parties d'un ensemble $X$. Établir :

1. $(A\setminus B)\setminus C=A\setminus (B\cup C)$, tandis que $A\setminus (B\setminus C)=(A\setminus B)\cup (A\cap C)$ ;
2. $B^c\setminus A^c=A\setminus B$ et $A^c\mathrm{\Delta }{B}^c=A\mathrm{\Delta }B$ ;
3. $A\setminus (B^c\cup C^c)=A\cap B\cap C$ ;
4. $(A\cup B\cup C)\setminus (A\cap B\cap C)=(A\mathrm{\Delta }B)\cup (B\mathrm{\Delta }C)$ ;
5. $A\mathrm{\Delta }B$ et $A^c\mathrm{\Delta }B$ sont complémentaires dans $X$ ;
6. $(A\mathrm{\Delta }B)\cap C=(A\cap C)\mathrm{\Delta }(B\cap C)$ ;
7. $(A\cup B)\mathrm{\Delta }(A\cup C)=A^c\cap (B\mathrm{\Delta }C)$.

Exercice 2-7

Soient $A,B$ deux parties d'un ensemble $E$. Discuter et résoudre dans $𝒫(E)$ l'équation en $X$ :

1. $A\cap X=B$,
2. $A\cup X=B$,
3. $(A\cap X)\cup (B\cap X^c)=\varnothing$.

Soient $E$ un ensemble, $A,B$ deux parties de $E$ et

$f:𝒫(E)\to 𝒫(A)\times 𝒫(B),X\mapsto (X\cap A,X\cap B)$.

• Montrer que $f$ est injective si et seulement si $A\cup B=E$ et que $f$ est surjective si et seulement si $A\cap B=\varnothing$.
• Lorsque $f$ est bijective, déterminer $f^{-1}$.