Ensemble (mathématiques)/Exercices/Ensembles

Exercice 1-1

Pour tout ensemble $X$, vérifier que $\{\varnothing ,X\}\subset 𝒫(X)$ et que $x\in X\iff \{x\}\subset X$. Modèle:Solution

Exercice 1-2

1. Vrai ou faux ?
   • a) $\varnothing \subset \varnothing$ ?
   • b) $\varnothing \in \varnothing$ ?
   • c) $\varnothing \in \{\varnothing \}$ ?
   • d) $\varnothing \in 𝒫(\varnothing )$ ?
2. Décrire les éléments de $𝒫(\varnothing )$ et de $𝒫(𝒫(\varnothing ))$.

Exercice 1-3

À partir de la définition des couples par $(x,y)=\{\{x\},\{x,y\}\}$, montrer que :

1. $(x,y)=(x^{\prime },y^{\prime })\Rightarrow (x=x^{\prime }\text{et}y=y^{\prime })$ ;
2. $\{x\}\times \{x\}=\{\{\{x\}\}\}$.

Modèle:Solution Avec cette même définition, décrire en compréhension le produit cartésien de deux ensembles $X$ et $Y$, comme sous-ensemble de $𝒫(𝒫(X\cup Y))$. Modèle:Solution A-t-on $(a,(b,c))=((a,b),c)$ ? Modèle:Solution

Exercice 1-4

On pose $E_0:=\varnothing$ et $E_{k+1}:=\{E_k\}$. Montrer que les ensembles $E_0,E_1,\dots$ sont deux à deux distincts et que l'ensemble $\{\varnothing ,\{\varnothing \}\}$ n'est égal à aucun des ensembles $E_k$. Modèle:Solution

Exercice 1-5

Soient $𝒜(x)$ et $ℬ(x)$ deux prédicats. On suppose : $\mathrm{\forall }x(𝒜(x)\Rightarrow ℬ(x))$. Montrer que si $ℬ(x)$ est [[../../Définitions#Prédicat collectivisant|collectivisant]] alors $𝒜(x)$ l'est aussi. Modèle:Solution Le prédicat $x=x$ est-il collectivisant ? Modèle:Solution

Exercice 1-6

1. Montrer que $A\subset B\iff 𝒫(A)\subset 𝒫(B)$.
2. À quelle condition a-t-on respectivement $𝒫(E)=\varnothing$ ? $𝒫(E)=\{a\}$ ? $\mathrm{card}𝒫(E)=2$ ?

Exercice 1-7

On pose $E_0=\varnothing$ et $E_{k+1}=𝒫(E_k)$. Montrer que les ensembles $E_0,E_1,\dots$ sont deux à deux distincts. L'ensemble $\{\varnothing ,\{\varnothing \}\}$ est-il égal à l'un des ensembles $E_k$ ? Modèle:Solution

Exercice 1-8

Modèle:Wikipédia On dit qu'un ensemble $E$ est transitif si tout élément de $E$ est inclus dans $E$ : $\mathrm{\forall }xx\in E\Rightarrow x\subset E$.

1. On définit par récurrence $E_0=\varnothing$ et $\mathrm{\forall }k\in \mathbb{N}{E}_{k+1}=E_k\cup \{E_k\}$. Démontrer que les $E_k$ sont transitifs.
2. Démontrer que les $E_k$ forment une suite strictement croissante d'ensembles (pour l'inclusion). Combien l'ensemble $E_k$ a-t-il d'éléments ?
3. Prouver plus généralement que si un ensemble $E$ est transitif, alors l'ensemble $F:=E\cup \{E\}$ l'est également, et que si de plus $E\notin E$, alors $F\notin F$ et l'inclusion $E\subset F$ est stricte.

Exercice 1-9

1. Dans certaines variantes de la théorie des ensembles, on introduit l'axiome de fondation : $\mathrm{\forall }x\ne \varnothing \mathrm{\exists }y\in xy\cap x=\varnothing$. Démontrer que cet axiome équivaut à l'affirmation suivante : il n'existe pas de suite d'ensembles $x_0,x_1,\dots$ telle que $\mathrm{\forall }i\in \mathbb{N}{x}_{i+1}\in x_i$. (Pour l'implication directe, considérer $x=\{x_i\mid i\in \mathbb{N}\}$.)
2. Démontrer que l'axiome de fondation entraine qu'il n'existe aucun ensemble qui soit élément de lui-même.
3. On pose $s(x)=x\cup \{x\}$ (« successeur » de $x$). Sous la même hypothèse, montrer que $x,s(x),s(s(x)),\dots$ sont deux à deux distincts.
4. Toujours sous l'hypothèse de l'axiome de fondation, la relation $(\mathrm{\forall }y\in xy\in y)$ est-elle collectivisante ? Et la relation $(\mathrm{\forall }y\in xy\notin y)$ ?