Droites et plans de l'espace/Exercices/Exercices guidés

Pyramide à base carrée.

Modèle:Exercice Soit une pyramide à base carrée SABCD (voir figure ci-dessus).

Cette pyramide est régulière : les 4 faces latérales sont des triangles isocèles et le sommet est à « l’aplomb » du centre O de la base.

Nous étudierons les effets d'un « troncage » parallèle à la base, qui présente une section IJKL de centre OModèle:'. Modèle:Clr

Intersections de droites et plans dans l'espace

1. Les droites (AD) et (BC) sont-elles sécantes ?
2. Les droites (AD) et (BC) sont-elles coplanaires ?
3. Les droites (AI) et (BJ) sont-elles sécantes ?
4. Définir par un minimum de points le plan de la face contenant les 5 points A, B, S, I et J.
5. Démontrer que K appartient au plan (ADJ).
6. Soit M le milieu de [BC]. Démontrer que (SM) et (AD) sont orthogonales.
7. Démontrer que SIJKL est une pyramide régulière de hauteur [SOModèle:'].
8. Construire géométriquement le point L à partir des seuls points S, A, B, C et I.

Géométrie vectorielle

Nous utilisons la figure ci-contre dans le cas particulier où IModèle:', JModèle:', KModèle:' et LModèle:' sont les milieux respectifs des arêtes [SA], [SB], [SC] et [SD].

On note M, N, P et Q les milieux respectifs de [BC], [CD], [AD] et [AB] et $\overrightarrow{u}$ le vecteur $\overrightarrow{AP}$.

1. Indiquer le représentant de ce vecteur d'origine IModèle:'.
2. Indiquer tous les représentants visibles sur la figure.
3. Démontrer que $\overrightarrow{BC}$ et $\overrightarrow{u}$ sont colinéaires
4. En déduire que $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{u}$ ne sont pas colinéaires.
5. Quelles sont les coordonnées du point N dans le repère $(A;\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AC})$ du plan (ACD) ?
6. Soit $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AC}$. Donner un troisième vecteur $\overrightarrow{w}$ tel que $(A;\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w})$ soit un repère de l'espace.
7. Même question mais avec la contrainte supplémentaire : $(A;\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w})$ repère orthogonal.
8. Dans le plan vectoriel $ℝ\overrightarrow{u}+ℝ\overrightarrow{v}$, on considère les deux bases $(\overrightarrow{AP},\overrightarrow{AQ})$ et $(\overrightarrow{OC},\overrightarrow{OD})$. Soit $\overrightarrow{p}$ un vecteur de coordonnées $(x,y)$ dans la première base et $(x^{\prime },y^{\prime })$ dans la seconde. Exprimer $(x^{\prime },y^{\prime })$ en fonction de $(x,y)$.

Projeté orthogonal sur un plan

Pour la suite de l'exercice, on suppose que OB = 1. On donnera les résultats en fonction du paramètre h = OS > 0 (hauteur de la pyramide).

On se place dans le repère orthonormé $(O;\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC},\overrightarrow{OS}/h)$ et l'on s'intéresse au plan SBC, et au projeté orthogonal H de O sur ce plan.

1. Donner une équation cartésienne du plan (SBC).
2. En déduire les coordonnées de H.
3. En déduire le rayon OH de la demi-sphère de centre O inscrite dans la pyramide.
4. Quelle courbe décrit H ?