Droites et plans de l'espace/Exercices/Droites et plans

Exercice 1-1

Donner une équation paramétrique de la droite passant par le point de coordonnées $(3,\frac{3}{4},\sqrt{2})$ et dirigée par le vecteur de coordonnées $(2,\frac{1}{2},1)$. Modèle:Solution

Exercice 1-2

Donner une équation paramétrique de la droite D menée par le point (1,1,1), parallèle au plan d'équation $x+y+z=0$ et rencontrant la droite d'équation paramétrique

$\{\begin{array}{c}x=1+2t\\ y=2+t\\ z=1-2t\end{array}(t\in ℝ)$.

Exercice 1-3

Donner une équation du plan P' perpendiculaire au plan P d'équation $2x+y-2z+1=0$ et contenant la droite D d'équation $4x+3y+2z-4=0,2x-11y-4z-12=0$. Modèle:Solution

Exercice 1-4

Dans chacun des deux cas suivants, donner un paramétrage de la droite définie par les deux équations :

1. $x+y-z+1=0,2x+y+z+2=0$ ;
2. $2x+3y-z+2=0,x+y-2z+5=0$.

Modèle:Solution Déterminer une représentation paramétrique puis un système d'équations cartésiennes de la droite $𝒟$ passant par les points $C=(-2,1,2)$ et $D=(-4,0,1)$. Modèle:Solution

Exercice 1-5

Donner une équation cartésienne du plan passant par le point de coordonnées (1, 2, 3) et dont un vecteur normal a pour coordonnées (–1, 3, 5). Modèle:Solution Déterminer une paramétrisation et une équation cartésienne du plan affine de ${ℝ}^3$ :

1. passant par $A(1,2,1)$ et de direction $\mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(u,v)$ où $u=(1,0,1)$ et $v=(0,2,-3)$ ;
2. passant par le point $B(1,1,1)$ et orthogonal au vecteur $n=(2,3,4)$.

Exercice 1-6

On pose $\overrightarrow{v_1}=(1,-1,2)$, $\overrightarrow{v_2}=(1,1,-1)$ et $\overrightarrow{v_3}=(3,1,0)$.

1. Ces trois vecteurs sont-ils linéairement indépendants ?
2. Soit $A$ le point de coordonnées $(-1,1,2)$. On pose $𝒫=\{A+{\lambda }_1\overrightarrow{v_1}+{\lambda }_2\overrightarrow{v_2}+{\lambda }_3\overrightarrow{v_3}\mid {\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3\in ℝ\}$. Montrer que $𝒫$ est un plan dont on donnera une équation.
3. Donner des équations d'une droite $𝒟$ incluse dans $𝒫$.
4. La droite ${𝒟}^{\prime }$ passant par $B(1,-1,1)$ et de vecteur directeur $\overrightarrow{v}(-1,1,-1)$ est-elle incluse dans le plan $𝒫$ ? parallèle au plan $𝒫$ ? Déterminer $𝒫\cap {𝒟}^{\prime }$.
5. Donner des équations et une paramétrisation de la droite ${𝒟}^{″}$ orthogonale à $𝒫$ passant par $A$.
6. Donner des équations du plan ${𝒫}^{\prime }$ passant par $B$ parallèle à $𝒫$.
7. Déterminer ${𝒫}^{\prime }\cap {𝒟}^{\prime }$.

Exercice 1-7

1. Trouver une paramétrisation de la droite $𝒟\subset {ℝ}^3$ définie par les équations $\{\begin{array}{c}3x+y-z=2\\ x+y=0.\end{array}$
2. Trouver une paramétrisation du plan $𝒫$ défini par l'équation : $x+2y+3z=0$.
3. La droite $𝒟$ est-elle incluse dans le plan $𝒫$ ?
4. Existe-t-il un plan ${𝒫}^{\prime }$ parallèle à $𝒫$ qui contienne la droite $𝒟$ ?
5. Donner une équation cartésienne d'un plan ${𝒫}_1$ qui contienne la droite $𝒟$.
6. Déterminer l'intersection des plans $𝒫$ et ${𝒫}_1$.

Exercice 1-8

1. Discuter suivant les valeurs des paramètres $a$ et $d$ l'intersection du plan $𝒫\subset {ℝ}^3$ d'équation $x+y+z=d$ et du plan ${𝒫}^{\prime }\subset {ℝ}^3$ dont une paramétrisation est donnée par $\{\begin{array}{c}x=t\\ y=s\\ z=-at-s+2.\end{array}$
2. Déterminer selon le paramètre $a$, l'intersection du plan $𝒫\subset {ℝ}^3$ défini par $x+2y-1=0$ avec la droite $𝒟\subset {ℝ}^3$ définie par $\{\begin{array}{c}x-2z+3=0\\ y+az-1=0.\end{array}$

Exercice 1-9

1. Soit $𝒫$ le plan affine passant par le point $A=(1,2,-1)$ et dirigé par le plan vectoriel engendré par $u=(1,0,1)$ et $v=(3,-1,0)$. Soit $𝒬$ le plan affine d'équation $x+2y+z=5$. Déterminer la droite $𝒟=𝒫\cap 𝒬$ et décrire ses équations paramétrées et cartésiennes.
2. Donner l'équation cartésienne du plan contenant $𝒟$ et le point $B=(0,1,0)$.

Exercice 1-10

Soient $𝒫$ et ${𝒫}^{\prime }$ les plans de ${ℝ}^3$ d'équations respectives $x-y+z=2$ et $x+2y+3z=4$.

1. Montrer que $𝒫\cap {𝒫}^{\prime }$ est une droite $𝒟$, dont on donnera une paramétrisation.
2. Donner une équation du plan ${𝒫}^{″}$ perpendiculaire à $𝒫$ et passant par le point $(1,0,-1)$.
3. Calculer $𝒫\cap {𝒫}^{\prime }\cap {𝒫}^{″}$.

Exercice 1-11

Pour quelle(s) valeur(s) de $a$ les deux droites $D=\{\begin{array}{c}x=az-1\\ y=2z+3\end{array}$ et $D^{\prime }=\{\begin{array}{c}x=z-2\\ y=3z-1\end{array}$ sont-elles coplanaires ? Modèle:Solution

Exercice 1-12

Dans un espace affine euclidien de dimension 3, soient $D_1$ et $D_2$ deux droites non parallèles, dirigées respectivement par $e_1$ et $e_2$, unitaires. Quelle est la nature de $P=D_1+\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(e_1,e_2)$ ? Montrer que le projeté orthogonal de $D_2$ sur $P$ est une droite sécante à $D_1$, et soit $A$ le point d'intersection. Montrer qu'il existe une droite $\mathrm{\Delta }$ passant par $A$ orthogonale à $D_1$ et $D_2$, et que c'est l'unique perpendiculaire commune. Deux droites quelconques admettent-elles une perpendiculaire commune ? unicité ? Modèle:Solution On reprend les notations précédentes en supposant cette fois $D_1$ et $D_2$ non coplanaires. Soit $O$ le milieu du segment $[D_1\cap \mathrm{\Delta },D_2\cap \mathrm{\Delta }]$. Soit $G$ le groupe des isométries laissant $D_1\cup D_2$ fixe. Montrer que $\mathrm{\Delta }$ et $O$ sont globalement fixés par $G$. Montrer que $G$ agit sur l'ensemble $\{\pm e_1,\pm e_2\}$. En déduire $8$ écritures matricielles possibles des éléments de $G$ dans la base $(e_1,e_2,e_3)$, où $e_3$ est un vecteur directeur unitaire de $\mathrm{\Delta }$. Montrer que $G$ est isomorphe soit à $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$, soit au groupe diédral d'ordre $8$, suivant que $e_1$ et $e_2$ sont orthogonaux ou non. Modèle:Solution

Exercice 1-13

Dans un espace affine de dimension 3, soient $D_1$, $D_2$ et $D_3$ des droites parallèles à un plan fixé, deux à deux non coplanaires. Soient $u_1,u_2,u_3$ des vecteurs directeurs de $D_1$, $D_2$ et $D_3$ respectivement, $A_1,A_2,A_3$ des points de $D_1$, $D_2$ et $D_3$ respectivement, et $w=\overrightarrow{A_2{A}_3}$. On se place dans le repère affine $(A_2,(u_2,u_3,w))$.

1. Donner une représentation paramétrique de $D_2$ et $D_3$.
2. En déduire que pour tout point $A$ de coordonnées $(x,y,z)$, si $z\ne 0,1$ (en particulier si $A\in D_1$) alors il existe une (unique) droite ${\mathrm{\Delta }}_A$ passant par $A$ et coupant $D_2$ et $D_3$, et donner alors (en fonction de $(x,y,z)$) un vecteur directeur $v_A$ de cette droite.
3. D'après 2., on peut désormais supposer $A_1,A_2,A_3$ alignés. Soient alors $a,b,c\in ℝ$ tels que $u_1=a{u}_2+b{u}_3$ et $\overrightarrow{A_2{A}_1}=cw$. Donner une représentation paramétrique de $D_1$ puis montrer que lorsque $A$ parcourt $D_1$, $v_A$ varie dans un plan vectoriel fixe $P$.
4. Vérifier que $u_1\notin P$. En déduire que lorsque $A$ parcourt $D_1$, les droites ${\mathrm{\Delta }}_A$ (toutes parallèles à $P$) sont deux à deux non coplanaires.