Droites et plans de l'espace/Droites et plans de l'espace euclidien

Dans ce dernier chapitre, on suppose que :

• l'espace $E$ (de dimension 3) est euclidien, c'est-à-dire que son espace vectoriel sous-jacent est muni d'un d'un produit scalaire donc d'une notion d'orthogonalité ;
• le repère $(O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$ est orthonormé, c'est-à-dire que ses trois vecteurs $\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}$ sont unitaires et orthogonaux deux à deux : $\Vert \overrightarrow{i}\Vert =\Vert \overrightarrow{j}\Vert =\Vert \overrightarrow{k}\Vert =1$ et $\overrightarrow{i}\cdot \overrightarrow{j}=\overrightarrow{i}\cdot \overrightarrow{k}=\overrightarrow{j}\cdot \overrightarrow{k}=0$.

Le produit scalaire s'exprime alors simplement en fonction des coordonnées :

$(x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k})\cdot (x^{\prime }\overrightarrow{i}+y^{\prime }\overrightarrow{j}+z^{\prime }\overrightarrow{k})=x{x}^{\prime }+y{y}^{\prime }+z{z}^{\prime }$.

Plan défini par un point et vecteur normal

De même qu'une droite du plan euclidien, un plan du 3-espace euclidien est de codimension 1 donc peut être défini par un point et un vecteur normal : Modèle:Théorème Modèle:Démonstration déroulante

Droite passant par un point et orthogonale à deux vecteurs

Puisque toute droite est définie par deux équations indépendantes et inversement, on en déduit immédiatement : Modèle:Corollaire