Droites et plans de l'espace/Définition et paramétrage d'une droite

Présentation générale

En géométrie affine, une droite est généralement considérée comme un « alignement de points ». Cet alignement est défini par soit deux points (distincts), soit par un point et un vecteur (non nul).

Définir une représentation paramétrique de la droite consistera à faire intervenir une variable qui décrit l'alignement. Cette description se fera en coordonnées cartésiennes, dans un repère affine.

Dans cette leçon, l'espace affine $E$ considéré est toujours supposé de dimension 3, muni d'un repère $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ (non nécessairement orthonormé ni même orthogonal).

Définition d'une droite affine

Modèle:Définition

Remarque: L'application $ℝ \to A + ℝ \vec{u}, t \mapsto A + t \vec{u}$ est une bijection, c'est-à-dire que chaque point de la droite correspond à une valeur de paramètre réel $t$ et réciproquement. Le point $A$ correspond à $t = 0$ .

Modèle:Proposition Modèle:Démonstration déroulante

Représentation paramétrique

Étant donné un repère $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ , par définition :

le triplet des coordonnées d'un vecteur $\vec{u}$ est l'unique matrice colonne $(\begin{matrix} α \\ β \\ γ \end{matrix})$ telle que $\vec{u} = α \vec{i} + β \vec{j} + γ \vec{k}$ ;
les coordonnées $(\begin{matrix} x_{A} \\ y_{A} \\ z_{A} \end{matrix})$ d'un point $A$ sont les coordonnées du vecteur $\vec{O A}$ .