Distributions statistiques des particules/Statistique de Maxwell-Boltzmann

La statistique de Maxwell-Boltzmann est une loi de probabilité ou distribution utilisée en physique statistique pour déterminer la répartition de particules entre différents niveaux d'énergie. Elle est notamment à la base de la théorie cinétique des gaz. La démonstration ci-après est basée sur celle de Rocard.

Dénombrement des états

Soit une boîte contenant une seule case. Il y a une seule possibilité pour mettre deux particules discernables, noire ou blanche,

៙ ๐

soit

$W_{MBQ}=1^2=1$

 :

Pour deux particules discernables dans deux cases de la boîte : , il y a quatre combinaisons, soit $W_{MBQ}=2^2=4$

Il y a 9 configurations possibles pour placer deux particules discernables dans trois cases :

$W_{MBQ}=3^2=9$

Soit une boîte de g cases contenant n particules. En appliquant la formule des arrangements de n = 2 particules dans g = 3 cases (la dégénérescence ou poids statistique g est le nombre de configurations physiques ou d’états distincts de même énergie), on a

$W_{MBQ}=g^n$

$\log W_{MBQ}=n\log g$

Multiplicateurs de Lagrange

À l’équilibre, la probabilité doit être extrémale, et sa variation doit donc être nulle :

$\sum _i\log \left(\frac{g_i}{n_i}\right)\mathrm{d}{n}_i=0$

Le nombre total de particules est constant:

$\sum _i\mathrm{d}{n}_i=0$

L’énergie totale doit être extrémale à l’équilibre :

$\sum _i{E}_i\mathrm{d}{n}_i=0$

On peut additionner ces trois expressions nulles selon la méthode des multiplicateurs de Lagrange :

$\sum _i\log \left(\frac{g_i}{n_i}\right)\mathrm{d}{n}_i+a\sum _i\mathrm{d}{n}_i+b\sum _i{E}_i\mathrm{d}{n}_i=0$

où a et b sont des constantes à déterminer. Comme cela doit être vrai quels que soient les $d{n}_i$, on doit avoir

$\log \left(\frac{g_i}{n_i}\right)+a+b{E}_i=0$

Distribution de Maxwell-Boltzmann quantique ou corrigée

L'équation précédente donne la fonction d’occupation de chaque état d’énergie Ei :

$f_i=\frac{n_i}{g_i}=\frac{1}{\exp (-a-b{E}_i)}$

On doit retrouver pour $f_i$ le facteur de Boltzmann $exp(-E_i/kT)$ lorsque l’exponentielle est très supérieure à un. L’identification des fonctions d’occupation de Maxwell classique et quantique, en l’absence d’effets quantiques donne :

$\exp (-a-b{E}_i)=\exp \left(\frac{E_i-\mu }{kT}\right)$

en posant

$a=\mu /kTetb=-1/(kT)$

On obtient la fonction de distribution de Maxwell-Boltzmann quantique:

$f_i=\frac{n_i}{g_i}=\exp -\left(\frac{E_i-\mu }{kT}\right)$

Distribution de Maxwell-Boltzmann classique

La distribution classique, continue, ignore la dégénérescence, c'est-à-dire que $g_i=1$. L'équation précédente donne la fonction d’occupation de chaque état d’énergie Ei :

$n_i=\frac{1}{\exp (-a-b{E}_i)}$

On doit retrouver pour $f_i$ le facteur de Boltzmann $exp(-E_i/kT)$ lorsque l’exponentielle est très supérieure à un. L’identification des fonctions d’occupation de Maxwell classique et quantique, en l’absence d’effets quantiques donne :

$\exp (-a-b{E}_i)=\exp \left(\frac{E_i-\mu }{kT}\right)$

en posant

$a=\mu /kTetb=-1/(kT)$

On a la fonction de distribution :

$n_i=\frac{1}{\exp \left(\frac{E_i-\mu }{kT}\right)}=\exp -\left(\frac{E_i-\mu }{kT}\right)$

En prenant un potentiel chimique μ nul, comme énergie l'énergie cinétique des molécules d'un gaz et une distribution continue des vitesses, on obtient une distribution gaussienne des vitesses (à un coefficient près) :

$n(v)dn=a\exp -\left(\frac{m{v}^2}{2kT}\right)dv$