Distributions statistiques des particules/Condensation de Bose-Einstein

Les bosons, contrairement aux fermions, ne sont pas soumis au principe d'exclusion de Pauli : un nombre illimité de bosons est capable d'occuper le même état d'énergie en même temps.

Ceci explique le comportement très différent des bosons et des fermions à basse température. Une fraction macroscopique des bosons va se condenser à l'état de plus basse énergie. C'est ce que l’on appelle la condensation de Bose-Einstein.

On étudie dans ce chapitre le cas d'un gaz parfait de bosons (les particules n'interagissent pas entre elles) de spin 0 confiné dans un volume V = L³.

Étude du gaz de bosons

On introduit une fonction g telle que g(ε) dε soit le nombre d'états d'énergie comprise entre ε et ε + dε. g s’appelle la fonction « densité d'états ». Pour calculer g(ε), on va d’abord calculer G(ε), le nombre d'états d'énergie inférieure à ε.

G(ε) peut être approché par le nombre d'états dont le vecteur $\overrightarrow{n}$ de composantes (n_x, n_y, n_z) pointe à l'intérieur de la boule de rayon $r=\sqrt{\frac{2m{L}^2}{(2\pi \hslash {)}^2}}\sqrt{ϵ}$.

Le volume de cette boule est $\frac{4}{3}\pi {\left(\frac{2m{L}^2ϵ}{(2\pi \hslash {)}^2}\right)}^{\frac{3}{2}}$. Or, avec la quantification des énergies, chaque état occupe un volume de 1. Donc $G(ϵ)=\frac{4}{3}\pi {\left(\frac{2m{L}^2ϵ}{(2\pi \hslash {)}^2}\right)}^{\frac{3}{2}}$

Or g(ε) dε = G(ε + dε) - G(ε) donc $g(ϵ)=\frac{\mathrm{d}G}{\mathrm{d}ϵ}$, d'où $g(ϵ)=2\pi V{\left(\frac{2m}{(2\pi \hslash {)}^2}\right)}^{\frac{3}{2}}\sqrt{ϵ}$

En choisissant l'énergie du niveau fondamental nulle, la distribution de Bose-Einstein $n_i=\frac{1}{e^{\beta (ϵ-\mu )}-1}$ donne par intégration sur les énergies : $\begin{array}{cc}N& =\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{g(ϵ)}{e^{\beta (ϵ-\mu )}-1}\mathrm{d}ϵ\\ & =2\pi V{\left(\frac{2m}{(2\pi \hslash {)}^2}\right)}^{\frac{3}{2}}\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sqrt{ϵ}}{e^{\beta (ϵ-\mu )}-1}\mathrm{d}ϵ\\ & =\frac{2}{\sqrt{\pi }}V{\left(\frac{2\pi m}{(2\pi \hslash {)}^2}\right)}^{\frac{3}{2}}\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sqrt{\frac{x}{\beta }}}{e^{(x-\beta \mu )}-1}\frac{\mathrm{d}x}{\beta }\\ & =\frac{2}{\sqrt{\pi }}V{\left(\frac{m{k}_{B}T}{2\pi {\hslash }^2}\right)}^{\frac{3}{2}}\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sqrt{x}}{e^{(x-\beta \mu )}-1}\mathrm{d}x\end{array}$

En introduisant la densité particulaire $n=\frac{N}{V}$ et la longueur d'onde thermique Λ : $n{\mathrm{\Lambda }}^3=\frac{2}{\sqrt{\pi }}\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sqrt{x}}{e^{(x-\beta \mu )}-1}\mathrm{d}x$

Température de Bose

On examine maintenant la variation du potentiel chimique de ce gaz de bosons. On introduit :

• le paramètre thermodynamique γ : γ = - β μ
• la fonction $I(\gamma )=\frac{2}{\sqrt{\pi }}\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sqrt{x}}{e^{(x+\gamma )}-1}\mathrm{d}x$

Il doit donc exister γ tel que n Λ³ = I(γ). Comme le potentiel chimique μ est toujours inférieur à l'énergie du niveau fondamental, on doit donc avoir μ < 0, donc γ > 0.

Or on ne pourra trouver de valeur positive à γ que si $n{\mathrm{\Lambda }}^3<I(0)=\zeta \left(\frac{3}{2}\right)$.

La température pour laquelle $n{\mathrm{\Lambda }}^3=\zeta \left(\frac{3}{2}\right)$ est appelée température de Bose, notée T_B, et sépare deux domaines de température dans lesquels le système possède des propriétés totalement différentes :

$T_B={\left(\frac{n}{\zeta (3/2)}\right)}^{\frac{2}{3}}\frac{2\pi {\hslash }^2}{m{k}_B}$

En-dessous de T_B

Examinons le niveau d'occupation de l'état fondamental : $n_0=\frac{1}{e^{-\beta \mu }-1}$

Lorsque $T\to T_B$, $\mu \to 0$, n₀ peut diverger. Ce qui se passe en réalité est la condensation de Bose-Einstein : les particules se condensent en fraction macroscopique dans l'état fondamental.

Pour T < T_B, on a donc μ=0. On peut calculer le nombre d'atomes non condensés : $\begin{array}{cc}{N}_e& =\frac{2}{\sqrt{\pi }}V{\left(\frac{m{k}_{B}T}{2\pi {\hslash }^2}\right)}^{\frac{3}{2}}\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sqrt{x}}{e^x-1}\mathrm{d}x\\ & =\frac{2}{\sqrt{\pi }}V{T}^{\frac{3}{2}}\frac{n}{\zeta (3/2)}\frac{1}{T_B^{\frac{3}{2}}}\mathrm{\Gamma }\left(\frac{3}{2}\right)\zeta \left(\frac{3}{2}\right)\\ & =N{\left(\frac{T}{T_B}\right)}^{\frac{3}{2}}\end{array}$

En-dessous de T_B, un nombre très important de particules (proportionnel à N) tombe dans l'état fondamental lorsque T décroît : $N_{\text{condensat}}=N(1-{\left(\frac{T}{T_B}\right)}^{\frac{3}{2}})$

Conclusion sur la condensation de Bose-Einstein

La teinte de ce graphe en fausses couleurs indique le nombre d'atomes ayant l'énergie correspondante, le rouge correspondant aux hautes énergies, et le bleu-blanc aux basses énergies.

• À gauche : T=400 nK, juste avant l'apparition du condensat de Bose-Einstein
• Au centre : T=200 nK, juste après l'apparition du condensat,
• À droite : T=50 nK, il ne reste que du condensat de Bose-Einstein « pur ».

Bibliographie

« Physique statistique et gaz parfaits », Patrice BACHER