Corps locaux/Introduction, nombres p-adiques

Nous allons ici donner la construction des nombres p-adiques. L’idée générale est fort simple : il s'agit tout simplement de donner un sens à une série du type $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{p}^n$.

Les nombres p-adiques ont été introduits à la fin du Modèle:S par Kurt Hensel. Ils ont depuis trouvé une place cruciale au sein de la théorie des nombres. Nous donnons ici une construction algébrique élémentaire des nombres p-adiques.

Anneau des entiers p-adiques

On se donne un nombre premier $p$.

Notons qu'en fait dans notre définition nous avons tout simplement quotienté un ensemble de suites par une relation d'équivalence.

Pour une définition plus moderne et plus compacte, mais nullement nécessaire ici, on peut remarquer que la famille d'anneaux $\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}$ munie des projections naturelles $\mathbb{Z}/p^q\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}/p^r\mathbb{Z}$ pour $q\ge r$ forme un système projectif. L'anneau ${\mathbb{Z}}_p$ est alors la limite projective $\underleftarrow{\lim }\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}$.

Cette définition a le mérite de munir canoniquement ${\mathbb{Z}}_p$ d'une topologie, la topologie projective, induite par la topologie produit. Néanmoins nous munirons, « à la main », ${\mathbb{Z}}_p$ d'une topologie dite p-adique qui coïncide avec la topologie projective.

Nous avons une représentation très utile des entiers p-adiques, qu’il ne faut pas hésiter à utiliser car « elle fait bien comprendre ce qui se passe ».

On peut donc écrire tout entier p-adique comme $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{p}^n$, où $0\le a_n\le p-1$, en gardant à l'esprit que cette série représente en fait la suite de ses sommes partielles. Néanmoins, il n'y a aucun danger à manipuler les entiers p-adiques comme des sommes infinies formelles. Nous verrons plus bas que tout nombre p-adique est la limite de la série $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{p}^n$ qui le définit, la limite étant prise pour la norme p-adique.

Nous allons maintenant caractériser les unités de ${\mathbb{Z}}_p$ nous allons voir qu’il existe un critère extrêmement simple pour savoir si un entier p-adique est inversible dans ${\mathbb{Z}}_p$.

Notons que cette démonstration est l'analogue de la démonstration dans l'anneau des séries formelles $k[[T]]$ de l'inversibilité d'une série formelle dont le terme constant est non nul. La différence notable entre l'anneau des séries formelles $k[[T]]$ et celui des entiers p-adiques réside dans le fait « qu’il y a une retenue » dans ${\mathbb{Z}}_p$.

Pour le lecteur familier avec la géométrie algébrique, cet analogue est le reflet de l'analogue entre corps de fonctions (c'est-à-dire courbe algébrique projective lisse) et corps de nombres.

Notons que l'arithmétique de ${\mathbb{Z}}_p$ est alors très simple, il n'y a qu'un seul nombre premier, à savoir $p$. C’est une caractéristique d'un anneau local. De plus, comme tous les entiers rationnels $n$ premiers à $p$ sont inversibles dans ${\mathbb{Z}}_p$, nous avons une injection du localisé de $\mathbb{Z}$ en $(p)$, qui est l’ensemble des éléments de $\mathbb{Q}$ de la forme $a/b$ avec $a\in \mathbb{Z}$ et $p$ ne divise pas $b$. On note traditionnellement ${\mathbb{Z}}_{(p)}$ le localisé de $\mathbb{Z}$ en $(p)$.

De plus, nous avons une simple conséquence du théorème précédent :

Nous en déduisons le corollaire important

Corps des nombres p-adiques

Modèle:Définition Modèle:Attention Le théorème suivant est évident mais fondamental.

Nous avons simplement « rajouté » l'élément $1/p$ à ${\mathbb{Z}}_p$. On étend la valuation p-adique à ${\mathbb{Q}}_p$, en définissant $v_p(a)$ comme l'entier relatif $\ell$ du théorème précédent. On pose par convention $v_p(0)=+\mathrm{\infty }$. La valuation p-adique sur ${\mathbb{Q}}_p$ est non archimédienne.

On peut donc à partir de cette valuation construire une norme :

Notons que pour des raisons plus profondes (la formule du produit) il est habile de choisir la normalisation $\rho =p^{-1}$.

De plus, pour qu'une suite $(x_n{)}_{n>0}$ tende vers un certain $x$, il faut et il suffit que $v_p(x_n-x)\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}+\mathrm{\infty }$, autrement dit : plus un nombre p-adique est divisible par p, plus il est petit.

Topologie p-adique

Nous avons donc défini une norme sur ${\mathbb{Q}}_p$ ce qui en fait un espace métrique. Examinons plus avant sa topologie.

La notion de convergence p-adique est beaucoup plus simple que la convergence par exemple dans $ℝ$ :

Autrement dit : une série p-adique converge si et seulement si son terme général tend vers 0.

Congruences p-adiques

Nous allons nous intéresser aux congruences dans l'anneau ${\mathbb{Z}}_p$. La propriété suivante est quasi immédiate ; elle résulte en fait du développement en série que nous avons vu plus haut. Comme les seuls éléments non inversibles de ${\mathbb{Z}}_p$ sont les $p^k$, il nous suffit de nous intéresser aux congruences modulo $p^k$.

Au passage, nous avons démontré les résultats suivants.

Nous avons alors prouvé que la série $\sum _{n\ge 0}{a}_n{p}^n$ converge bien au sens p-adique vers l'entier p-adique qu'elle définit.

Nous terminons par une (des nombreuses) versions du lemme de Hensel, qui nous permet de « relever une solution » d'une équation dans $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ en solution de la même équation dans ${\mathbb{Z}}_p$.

Une construction analytique des nombres p-adiques

Il existe une façon beaucoup plus analytique de construire les nombres p-adiques, qui ressemble de beaucoup à la façon de construire les réels à partir de $\mathbb{Q}$. Commençons par mentionner un résultat important (et intéressant en soi), le théorème d'Ostrowski, qui donne naissance à l'importante notion de place d'un corps de nombre, qui généralise la notion de nombre premier.

Remarquons qu'en fait ce théorème dit qu’il y a exactement une valuation (à équivalence topologique près) pour chaque nombre premier, et une supplémentaire, pour le plongement de $\mathbb{Q}$ dans $ℝ$. Tout se passe comme si l’on « manquait » un nombre premier infini. Ce fait sera confirmé par la fait que l’on peut voir $ℝ$ comme le complété $\mathrm{\infty }$-adique de $\mathbb{Q}$ et nous le noterons d'ailleurs souvent ${\mathbb{Q}}_{\mathrm{\infty }}$. Ce fait remarquable se généralise à un corps de nombres de la manière suivante.

Pour un corps de nombres $K$, il existe exactement une valuation (à équivalence topologique près) pour chaque idéal premier de $O_K$ (l'anneau des entiers de $K$) et une valuation pour chaque plongement réel, et pour chaque paire de plongements complexes conjugués. Une place du corps $K$ sera donc une classe d'équivalence de valuations. Il existe donc une place par idéal premier $𝔭$ qui sont dites finies, ces places correspondent à des valuations non archimédiennes, et nous avons en plus des places infinies, qui correspondent aux plongements de $K$ dans $ℝ$ ou $ℂ$, les valuations correspondantes sont archimédiennes. Nous aurons l’occasion d'y revenir.

Nous pouvons alors définir le corps ${\mathbb{Q}}_p$ de la façon suivante.

Comme ${\mathbb{Q}}_p$ est complet et contient $\mathbb{Q}$ comme sous-corps dense, il résulte de théorèmes généraux (sur les complétés d'un corps pour une valuation) que les deux définitions coïncident.