Continuité et variations/Exercices/Variations d'une fonction

Exercice 4-1

Soit $f:ℝ\to ℝ$ définie par $f(x)=\frac{1}{{\mathrm{e}}^{x^2+x}}$.

Donner sa dérivée et son tableau de variations, avec les limites en $\pm \mathrm{\infty }$. Modèle:Solution

Exercice 4-2

Soit $f:ℝ\to ℝ$ définie par $f(x)=\frac{2}{{\mathrm{e}}^{-x^2-2x}}$.

Donner sa dérivée et son tableau de variations, avec les limites en $\pm \mathrm{\infty }$. Modèle:Solution

Exercice 4-3

Soit $f$ définie par $f(x)=\sqrt{8-x^3}$.

Donner son domaine de définition, son domaine de dérivabilité, sa dérivée et son tableau de variations, avec les valeurs de $f$ et $f^{\prime }$ en $0$ et leurs limites aux bornes. Modèle:Solution

Exercice 4-4

Soit $f$ définie sur $ℝ\setminus \{1\}$.

On donne ci-dessous son tableau de variations sur $]1,+\mathrm{\infty }[$ :

$\begin{array}{cccccc}x& 1& & 3& & +\mathrm{\infty }\\ & +\mathrm{\infty }& & & & +\mathrm{\infty }\\ f(x)& & \searrow & & \nearrow & \\ & & & \frac{5}{2}& & \end{array}$

De plus on admet que sur son domaine, $f$ peut s'écrire sous la forme

$f(x)=ax+\frac{b}{x-c}$ où $a,b,c\in ℝ$.

1. Déterminer $c$.
2. Calculer $f^{\prime }$ et en déduire une relation entre $a$ et $b$.
3. Le tableau de variations nous fournit les coordonnées d'un point particulier du graphe de $f$. En déduire une seconde relation entre $a$ et $b$.
4. Déterminer $a$ et $b$.
5. Montrer que la représentation graphique de $f$ admet un centre de symétrie.

Exercice 4-5

Soit $f$ définie par $f(x)=\frac{1}{(x-1{)}^2}{\mathrm{e}}^{\frac{x+1}{x-1}}$.

Donner sa dérivée et son tableau de variations, avec les limites aux bornes. Modèle:Solution