Continuité et variations/Exercices/Langage de la continuité

Exercice 1-1

$f$ est une fonction définie sur $[-2,2]$, avec $f(0)=1$ et $f$ n'est pas continue en 0.

Tracer une courbe qui pourrait représenter $f$. Modèle:Solution

Exercice 1-2

$f$ est la fonction définie sur $ℝ\setminus \{0\}$ par :

$f(x)=\frac{{\mathrm{e}}^x-1}{x}$.

Quelle valeur faudrait-il attribuer à $f(0)$ pour prolonger $f$ par continuité en 0 ? Modèle:Solution

Exercice 1-3

Soit $f$ la fonction définie par

$f(x)=\{\begin{array}{cc}{x}^3-2x^2+\alpha x+2& \text{si }x<2\\ x^2\ln x& \text{si }x\ge 2.\end{array}$

1. Déterminer le réel $\alpha$ pour que $f$ soit continue sur $ℝ$.
2. Avec cette valeur de $\alpha$, la fonction $f$ est-elle dérivable sur $ℝ$ ?

Exercice 1-4

1. Étudier la fonction $f$ définie par

   $f(x)=\sqrt{x^2-1}$
   (domaine de définition, parité, domaine de dérivation, calcul de $f^{\prime }$, variations, limites aux bornes, graphe).

2. La fonction $g$ définie par

   $g(x)=\{\begin{array}{cc}f(x)& \text{si }|x|\ge 1\\ {\mathrm{e}}^{\frac{1}{x^2-1}}& \text{si }-1<x<1\end{array}$
   est-elle continue sur $ℝ$ ?

Exercice 1-5

La fonction $f$ définie par

$f(x)=\{\begin{array}{cc}x(x+5)+1& \text{si }x<0\\ 1+3x{\mathrm{e}}^{-x^2}& \text{si }x\ge 0\end{array}$

est-elle continue sur $ℝ$ ? Calculer ses limites en $-\mathrm{\infty }$ et $+\mathrm{\infty }$. Modèle:Solution

Exercice 1-6

Graphe de $f$.

Graphe de $g$.

On considère la fonction $f$ définie sur $ℝ$ dont le graphe (constitué de segments de droites et d'une portion de parabole) est à gauche.

1. À quelle condition sur le réel Modèle:Formule la fonction $f$ est-elle continue en $-1$ ?
2. Si cette condition est vérifiée, la fonction est-elle dérivable en $-1$ ?
3. La fonction est-elle continue en $1$ ? dérivable en $1$ ?
4. Mêmes questions pour la fonction $g$ définie sur $ℝ$ dont le graphe est à droite.

Exercice 1-7

Soit la fonction $f$ définie par

$f(x)=\{\begin{array}{cc}x{\mathrm{e}}^x& \text{si }x\le 1\\ ax+b& \text{si }x>1.\end{array}$

Trouver $a$ et $b$ réels pour que $f$ soit dérivable en $1$. Modèle:Solution