Continuité et variations/Exercices/Fonctions continues strictement monotones

Exercice 3-1

Soit $u:[0,1]\to ℝ$ définie par $u(x)=1+(-2x+1){\mathrm{e}}^{2x}$.

1. Vérifier que pour tout $x$ de $[0,1]$, $u^{\prime }(x)=-4x{\mathrm{e}}^{2x}$.
2. Démontrer que l'équation $u(x)=0$ admet une solution unique $\alpha$ dans $[0,1]$.
3. Donner un encadrement de $\alpha$ au centième.
4. Dresser le tableau de signe de $u(x)$ en justifiant.

Exercice 3-2

Soit $f$ une fonction définie et continue sur $[0,+\mathrm{\infty }[$ dont le tableau de variations est le suivant (les flèches indiquent des variations strictes) :

x	$0$ $+\mathrm{\infty }$
f(x)	$2$ $\searrow$ $0$

Soit n un entier naturel strictement supérieur à 1.

1. Démontrer qu’il existe un réel $x_1\ge 0$ tel que pour tout $x\ge x_1$, on ait $f(x)<\frac{1}{n}$.

2. Démontrer en utilisant 1. que l'équation $f(x)=\frac{1}{n}$ admet une solution unique sur $[0,x_1]$.

3. En déduire que l'équation $f(x)=\frac{1}{n}$ admet une solution unique sur $[0,+\mathrm{\infty }[$.

4. Démontrer que $f$ ne s'annule pas sur $[0,+\mathrm{\infty }[$. Modèle:Solution