Continuité et variations/Annexe/Sujet de bac S

Pondichéry avril 2004

Partie A : Étude d'une fonction auxiliaire.

Soit $\varphi$ la fonction définie sur $ℝ$ par $\varphi (x)=(x^2+x+1)e^{-x}-1$

1.a) Déterminer les limites de $\varphi$ en $-\mathrm{\infty }$ et $+\mathrm{\infty }$.

b) Étudier le sens de variation de $\varphi$, puis dresser son tableau de variations, sur $ℝ$.

2. Démontrer que l'équation $\varphi (x)=0$ admet deux solutions dans $ℝ$, dont l'une dans l'intervalle $[1;+\mathrm{\infty }[$, qui sera notée $\alpha$.

3. En déduire le signe de $\varphi (x)$ sur $ℝ$ et le présenter dans un tableau.

La Réunion juin 2004

Soit $f$ la fonction définie sur $[0;+\mathrm{\infty }[$ par : $f(x)=1-x^2{e}^{1-x^2}$

1. Démontrer que $f$ est continue sur $[0;+\mathrm{\infty }[$.

2. On admet que le tableau de variations de $f$ est le suivant :

x	$0$ $1$ $+\mathrm{\infty }$
f(x)	$1$ $1$ $\searrow$ $\nearrow$ $0$

$k$ est un nombre réel donné. Déterminer en fonction de $k$ le nombre de solutions

dans l'intervalle $[0;+\mathrm{\infty }[$ de l'équation $f(x)=k$.

3. $n$ étant un entier naturel non nul, en déduire les valeurs de n

pour lesquelles l'équation $f(x)=\frac{1}{n}$ admet deux solutions distinctes.

Version guidée

Soit $f$ la fonction définie sur $[0;+\mathrm{\infty }[$ par : $f(x)=1-x^2{e}^{1-x^2}$

1. Démontrer que $f$ est continue sur $[0;+\mathrm{\infty }[$.

a) Préciser les fonctions g, h, ket i telles que $f=g-h\times k\circ i$

b) Justifier de la continuité de g, h, ket i , sur un intervalle bien choisi pour chacune.

c) Conclure quant à la continuité de f sur $[0;+\mathrm{\infty }[$.

2. On admet que le tableau de variations de $f$ est le suivant :

x	$0$ $1$ $+\mathrm{\infty }$
f(x)	$1$ $1$ $\searrow$ $\nearrow$ $0$

a) Démontrer en utilisant les variations de $f$ que

pour tout x de $]0;1[$, $0<f(x)<1$

b) Démontrer en utilisant les variations de $f$ que

pour tout x de $]1;+\mathrm{\infty }[$, $f(x)>0$

c) Démontrer que si $k$ est un nombre réel de l'intervalle $]0,1[$

l'équation $f(x)=k$ admet exactement 1 solution sur $[0;1]$

d) En admettant de plus que pour tout x de $]1;+\mathrm{\infty }[$, $f(x)<1$,

démontrer que si $k$ est un nombre réel de l'intervalle $]0,1[$

l'équation $f(x)=k$ admet exactement 1 solution sur $[1;+\mathrm{\infty }]$

e) Soit k un nombre réel quelconque, discuter en fonction de k et

en utilisant a), b), c), d) le nombre de solutions

dans l'intervalle $[0;+\mathrm{\infty }[$ de l'équation $f(x)=k$.

f) Démontrer le résultat admis en d).

3. $n$ étant un entier naturel non nul, en déduire les valeurs de n

pour lesquelles l'équation $f(x)=\frac{1}{n}$ admet deux solutions distinctes.