Complexes et géométrie/Exercices/Suite de points

Exercice 8-1

Dans le plan complexe $P$ muni d'un repère orthonormal $(O;\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_2})$, l'unité graphique étant Modèle:Unité, on définit l'application $f$ qui au point d'affixe $z$ associe le point d'affixe

$z^{\prime }=-\mathrm{j}z+\mathrm{i}$, où $\mathrm{j}={\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{2\pi }{3}}$.

1°  Montrez que $f$ admet exactement un point invariant $\mathrm{\Omega }$, dont vous donnerez l’affixe. Caractérisez géométriquement $f$.

2°  On définit dans $P$ la suite $(M_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ par :

$\{\begin{array}{c}{M}_0=0\\ \mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}{M}_{n+1}=f(M_n)\end{array}$

a)  Construisez $\mathrm{\Omega }$, $M_0$, $M_1$ et $M_2$.

b)  Pour tout entier $n$, on note $z_n$ l'affixe de $M_n$ et l'on pose :

$Z_n=z_n-{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{\pi }{6}}$.

Déterminez un nombre complexe $a$ tel que, pour tout entier $n$, $Z_{n+1}=a{Z}_n$.

Mettez $a$ sous forme trigonométrique et déterminez un entier $p$ strictement positif tel que $a^p=1$.

c)  Calculez $Z_n$ puis $z_n$ en fonction de $n$. Calculez $z_{2017}$ et placez $M_{2017}$ sur le dessin.

Exercice 8-2

Le plan complexe $P$ est muni d'un repère orthonormal $(O;\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$.

1°  Soit $T$ la transformation du plan qui, à tout point d'affixe $z$, associe le point d'affixe $z^{\prime }=\frac{1}{2}\overline{z}$

a)  Montrez que $T$ est la composée de deux transformations simples (une homothétie $h$ et une réflexion $s$) que l'on précisera.

b)  Quelle est la nature de $T\circ T$ ?

2°  On considère la suite de points $(M_n)$ d'affixes respectives $(z_n)$ où : $\{\begin{array}{c}{z}_0=1+\mathrm{i}\\ \mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}^{*}{z}_n=\frac{1}{2}\overline{z_{n-1}}.\end{array}$

a)  Faites une figure (unité Modèle:Unité), et placez-y $M_0$, $M_1$, $M_2$ et $M_3$.

b)  Exprimez, en fonction de $n$, $z_n$ et les coordonnées $(x_n,y_n)$ du point $M_n$.

c)  Calculez $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }|z_n|$. Le point $M_n$ a-t-il une position limite quand $n$ tend vers $+\mathrm{\infty }$ ?

Exercice 8-3

On considère, dans le plan complexe, les $n$ points $A_k$, d'affixe $z_k={\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{2k\pi }{n}}(1⩽k⩽n)$.

1°  Exprimez $z_k$ en fonction de $z_1$, pour tout entier $k$.

2°  Déterminez l'ensemble des points $M$ du plan tels que :

$\Vert \sum _{k=1}^n\overrightarrow{M{A}_k}\Vert =n$.

3°  Déterminez l’ensemble des points $M$ du plan tels que :

$\sum _{k=1}^n{M{A}_k}^2=2n$.