Complexes et géométrie/Exercices/Similitude

Exercice 6-1

Ci-dessous on donne l'écriture complexe, dans un repère orthonormal direct, d'une transformation $f$ qui à un point d'affixe $z$ associe un point d'affixe $z^{\prime }$. Reconnaissez $f$ et précisez ses éléments caractéristiques.

1°  $z^{\prime }-\mathrm{i}=(1+\mathrm{i})(z-\mathrm{i})$. Modèle:Solution

2°  $z^{\prime }=(-2+2\mathrm{i})z+5+\mathrm{i}$. Modèle:Solution

3°  $z^{\prime }=\frac{1+\mathrm{i}}{1-\mathrm{i}}z+2\mathrm{i}$. Modèle:Solution

4°  $z^{\prime }=\frac{2-\mathrm{i}}{\mathrm{i}+1}z$. Modèle:Solution

5°  $z^{\prime }=(1+\mathrm{i}\sqrt{3})z+1$. Modèle:Solution

6°  $z^{\prime }=(-1+2\mathrm{i})z+3-4\mathrm{i}$ Modèle:Solution

Exercice 6-2

Dans le plan orienté, on considère un carré $ABCD$ tel que l'angle $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD})$ a pour mesure $\frac{\pi }{2}$.

On désigne par $I$ et $K$ les milieux respectifs des segments $[AC]$ et $[CD]$.

Représentez ces points sur une figure.

On se propose d'étudier la similitude directe $S$ telle que :

$S(A)=I$ et $S(C)=K$.

1°  Indiquez le rapport et l’angle de $S$.

2°  Recherche du centre de $S$ à l'aide des nombres complexes.

On choisit comme repère orthonormal direct $(A,\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD})$.

a)  Quelle est l'affixe de $I$ ?

b)  Donnez l'écriture complexe de $S$.

c)  Déduisez-en les coordonnées du centre $\mathrm{\Omega }$ de $S$.

Exercice 6-3

Dans le plan complexe, on considère les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes respectives :

$z_A=-1+2\mathrm{i}$, $z_B=3-\mathrm{i}$ et $z_C=7+\lambda \mathrm{i}(\lambda \in ℝ)$.

$T$ est la transformation qui à tout point d'affixe $z$ associe le point d'affixe $z^{\prime }=az+b(a\in {ℂ}^{*},b\in ℂ)$ pour laquelle $T(A)=B$ et $T(B)=C$.

1°  Déterminez $a$ en fonction de $\lambda$.

2°  Pouvez-vous déterminer $\lambda$ de telle sorte que $T$ soit :

a)  Une translation ?

b)  Une rotation ?

c)  Une similitude directe d'angle $\frac{3\pi }{2}$ ?

Exercice 6-4

Le plan est muni d'un repère orthonormé direct.

On considère le point $A$ de coordonnées $(1,0)$ et le point $B$ de coordonnées $(0,1)$.

Soit $S_1$ la similitude directe de centre $A$, d'angle $\frac{2\pi }{3}$ et de rapport $2$.

Soit $S_2$ la similitude directe de centre $B$, d'angle $\frac{\pi }{3}$ et de rapport $\frac{1}{2}$.

1°  Donnez l'écriture complexe de $S_1$, puis celle de $S_2$.

2°  a)  Déduisez-en l'écriture complexe de la transformation $T=S_2\circ S_1$.

b)  Quelle est la nature de $T$ ? Précisez ses éléments caractéristiques.

c)  Soient $M$ un point de coordonnées $(x,y)$ et $M^{\prime }$ le point $T(M)$.

Exprimez les coordonnées $(x^{\prime },y^{\prime })$ de $M^{\prime }$ en fonction de $x$ et $y$.

Exercice 6-5 (Conservation du barycentre)

Soient $s$ une similitude directe, $G$ le barycentre de deux points pondérés $(M,t),(N,1-t)$.

On pose $G^{\prime }=S(G)$, $M^{\prime }=s(M)$ et $N^{\prime }=s(N)$.

En utilisant l'écriture complexe de $s$ dans un repère orthonormal, prouvez que $G^{\prime }$ est le barycentre de $(M^{\prime },t),(N^{\prime },1-t)$.

Comment peut-on généraliser aux barycentres de $n$ points ? Modèle:Solution

Exercice 6-6

Dans le plan complexe, on considère deux similitudes directes $S$ et $R$.

1°  Montrez que les transformées d'une même figure par $R\circ S$ et par $S\circ R$ se déduisent l'une de l'autre par une translation, notée $T$.

2°  On munit le plan d'un repère orthonormal direct $(O,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$ et l'on suppose que $S$ a pour centre $O$, angle $\theta =-\frac{\pi }{6}$ et rapport $r$, et que $R$ est une rotation de centre $A\ne O$ et d'angle $\phi =\frac{2\pi }{3}$.

Déterminez $r$ de façon que le vecteur de $T$ soit orthogonal à $\overrightarrow{OA}$.

Exercice 6-7

Le plan est muni d'un repère orthonormal direct $(O,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$. On considère les points :

$A$ d'affixe $-4$, $B$ d'affixe $4$, $E$ d'affixe $4\mathrm{i}$, $C$ et $D$ tels que les quadrilatères $AOEC$ et $BOED$ soient des carrés.

1°  Placez les points précédents dans le repère $(O,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$ et donnez les affixes des points $C$ et $D$.

2°  Soit $f$ la transformation du plan qui à tout point $M$ d'affixe $z$ fait correspondre le point $M^{\prime }$ d'affixe $z^{\prime }=(1+\mathrm{i})z+4+4\mathrm{i}$.

a)  Déterminez la nature et les éléments caractéristiques de $f$.

b)  Précisez les points $f(A)$ et $f(O)$.

Déterminez l'image par $f$ de la droite $(CA)$ et celle de la médiatrice du segment $[AO]$.

c)  Exprimez, pour tout point $M$ d'affixe $z$, l'affixe des vecteurs $\overrightarrow{M{M}^{\prime }}$ et $\overrightarrow{MC}$ en fonction de $z$.

Déduisez-en que $M{M}^{\prime }=MC$ et, pour $M$ distinct de $C$, montrez que $(\overrightarrow{M{M}^{\prime }},\overrightarrow{MC})=\frac{\pi }{2}$.

3°  Soit $J$ le milieu du segment $[EB]$ et $I$ le milieu de $[AO]$.

Déterminez l'image de $J$ par la rotation de centre $I$ et d'angle $\frac{\pi }{2}$.

Exercice 6-8

On considère, dans le plan complexe, les trois points $A_0,A_1,A_2$ d'affixes respectives $z_0=5-4\mathrm{i},z_1=-1-4\mathrm{i},z_2=-4-\mathrm{i}$.

Montrer qu'il existe une unique similitude directe $S$ telle que $S(A_0)=A_1$ et $S(A_1)=A_2$, puis déterminer son rapport, son angle et son centre. Modèle:Solution

Exercice 6-9

1. Mettre les nombres complexes $z_1=-\sqrt{2}+\mathrm{i}\sqrt{2}$ et $z_2=-2\sqrt{3}-2\mathrm{i}$ sous forme polaire.
2. Déterminer une similitude directe $f$ de centre $0$ telle que $f(z_1)=z_2$.
3. Quels sont le rapport et l'angle de cette similitude ?