Complexes et géométrie/Exercices/Rotation

Exercice 4-1

Au point d'affixe $z$, on associe le point d'affixe $z^{\prime }$ par une rotation $f$ d'angle $\frac{\pi }{2}$ ; on sait que $f(A)=B$ où $A$ et $B$ ont pour affixes respectives $1+\mathrm{i}$ et $-2+2\mathrm{i}$.

Exprimez $z^{\prime }$ en fonction de $z$. Modèle:Solution

Exercice 4-2

Les points $A$ et $B$ ont pour affixes les nombres complexes $a$ et $b$. En utilisant des rotations d'angle $\frac{\pi }{2}$ ou $-\frac{\pi }{2}$, déterminez les affixes des points $C$ et $D$ tels que $ABCD$ soit un carré de sens direct. Modèle:Solution

Exercice 4-3

$A$ et $B$ sont deux points du plan orienté dans le sens usuel et tels que $AB=6\text{cm}$.

On note :

$r_1$ la rotation de centre $A$ et d'angle de mesure $\frac{\pi }{3}$ ;

$r_2$ la rotation de centre $B$ et d'angle de mesure $-\frac{2\pi }{3}$.

Pour tout point $M$ du plan, on note $M_1$ et $M_2$ les images respectives de $M$ par $r_1$ et $r_2$.

1°  $M$ étant un point quelconque, construisez les points $M_1$ et $M_2$.

2°  Le but de cette question est de démontrer que, pour tout point $M$ du plan, le milieu du segment $\left[M_1{M}_2\right]$ est un point fixe $I$.

On pose $f=r_1\circ r_2^{-1}$ où $r_2^{-1}$ désigne la transformation réciproque de $r_2$.

a)  Déterminez $f(M_2)$.

b)  Montrez que $f$ est une symétrie centrale.

c)  Déduisez-en que le milieu de $\left[M_1{M}_2\right]$ est un point fixe $I$, que vous placerez sur la figure.

3°  Dans cette question, le plan est muni d'un repère orthonormal direct $(O;\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$ tel que $A$ et $B$ aient pour affixes respectives $-3$ et $3$. On note $z_1$ et $z_2$ les affixes respectives de $M_1$ et $M_2$.

$M$ est un point du plan, distinct de $A$ et de $B$, d'affixe $z$.

a)  Exprimez $z_1$ et $z_2$ en fonction de $z$.

Montrez que : $\frac{z_2-z}{z_1-z}=\mathrm{i}\sqrt{3}\frac{z-3}{z+3}$.

b)  Déduisez-en que :

(1) $(\overrightarrow{M{M}_1},\overrightarrow{M{M}_2})\equiv (\overrightarrow{MA},\overrightarrow{MB})+\frac{\pi }{2}(\mathrm{mod}2\pi )$ ;

(2) $\frac{M{M}_2}{M{M}_1}=\sqrt{3}\frac{MB}{MA}$.

c)  Déterminez à l'aide de l'égalité (1) l'ensemble $\mathrm{\Gamma }$ des points $M$ du plan tels que $M$, $M_1$ et $M_2$ soient alignés.

Construisez $\mathrm{\Gamma }$ sur la figure de la question 1°.

Exercice 4-4

Existe-t-il une rotation qui envoie $A(3,2)$ sur $A^{\prime }(1,2)$ et $B(2,-3)$ sur $B^{\prime }(6,1)$ ? Dans l'affirmative, préciser le centre et l'angle de cette rotation. Modèle:Solution