Complexes et géométrie/Exercices/Pour les cracks

Exercice 11-1

Résolvez dans $ℂ$ l'équation :

$z^3=2-11\mathrm{i}$

après avoir montré que $2-\mathrm{i}$ est une solution. Modèle:Solution

Exercice 11-2

1°  Résolvez l'équation :

$z^4=8\sqrt{2}(1-\mathrm{i})$.

2°  Situer dans le plan complexe, les images des solutions. Quelle est la particularité du polygone dont les sommets sont les points-images des solutions de l'équation ? Modèle:Solution

Exercice 11-3

Le plan est muni d'un repère orthonormal direct $(O;\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$.

1°  a)  Soit $A$ le point d'affixe $3+\mathrm{i}$ et $B$ le point d'affixe $6$.

Pour tout réel $u$, on considère les deux points $M_u$ d'affixe $3+\mathrm{i}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}u}$ et $N_u$ d'affixe $3(1+{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}u})$.

Montrez qu'il existe une unique similitude directe $T_u$ telle que $T_u(A)=M_u$ et $T_u(B)=N_u$.

b)  Déterminez les éléments caractéristiques de $T_u$.

c)  Soit $E$ l'ensemble des similitudes $T_u$, $u\in ℝ$.

Montrez que la composée de deux similitudes de $E$ est aussi une similitude de $E$.

2°  On pose $B_0=B,B_1=T_{\frac{\pi }{2}}(B),B_2=T_{\frac{\pi }{2^2}}(B_1),\cdots$ et pour tout $n$ non nul, $B_n=T_{\frac{\pi }{2^n}}(B_{n-1})$.

$B_n$ a-t-il une position limite quand $n$ tend vers $+\mathrm{\infty }$ ?

Exercice 11-4

Le plan orienté est muni d'un repère orthonormal direct d'origine $O$.

On note $A$ et $B$ les points ayant respectivement pour affixe $1$ et $\mathrm{i}$.

À tout point $M$ d'affixe $z$, on associe le point $N$ d'affixe $\mathrm{i}z$.

1°  Lorsque $M$ est distinct de $A$, donnez une mesure de l'angle $(\overrightarrow{AM},\overrightarrow{BN})$.

2°  Déterminez et représentez sur une figure l'ensemble $E$ des points $M$ du plan, distincts de $A$ et $B$, tels que le triangle $MBN$ soit rectangle en $B$.

3°  Déterminez le lieu $D$ du milieu $I$ du segment $[MN]$ lorsque $M$ parcourt $E$. Modèle:Solution