Complexes et géométrie/Exercices/Nombres complexes et géométrie

Exercice 1-1 (Milieu)

Soient $A$ et $B$ les points d'affixes respectives $a=1-\mathrm{i}$ et $b=-2+3\mathrm{i}$.

Quelle est l'affixe du milieu de $[AB]$ ? Modèle:Solution

Exercice 1-2 (Distance)

Soient $A$ et $B$ les points d'affixes respectives $a=1+\mathrm{i}$ et $b=3-2\mathrm{i}$.

Calculer la distance $AB$ comme module d'un nombre complexe. Modèle:Solution

Exercice 1-3

Les points $A$, $B$ et $C$ ont pour affixes respectives : $-2-2\mathrm{i}$, $1-\mathrm{i}$ et $10+2\mathrm{i}$.

1. Déterminer les affixes des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$.

2. En déduire que $A$, $B$ et $C$ sont alignés.

3. Déterminer en utilisant 1) les réels $b$ et $c$ tels que :

• $A$ soit le barycentre de $(B,b)$ et $(C,c)$ et
• $b+c=1$.

Exercice 1-4

1. Déterminer l’ensemble des points dont l'affixe vérifie :

$|z+6\mathrm{i}|=|z-4+\mathrm{i}|$.

2. Déterminer l’ensemble des points dont l'affixe vérifie :

$|2z-3\mathrm{i}+7|=4$.

3. Déterminer l’ensemble des points dont l'affixe vérifie :

$\left|\frac{z-3\mathrm{i}+7}{z+\mathrm{i}}\right|=2$.

Exercice 1-5 (Petits problèmes)

Soient $A$, $B$ et $C$ les points d'affixes respectives :

$z_A=3$, $z_B=\frac{5+7\mathrm{i}}{2}$ et $z_C=\frac{-1-\mathrm{i}}{2}$.

1. Placer A, B et C sur une figure (prendre une unité de Modèle:Unité).

2. Calculer $|z_B-z_A|$, $|z_A-z_C|$ et $|z_C-z_B|$.

3. Démontrer que le triangle ABC est rectangle et isocèle.

4. Déterminer l'affixe $z_I$ du milieu I du segment [BC].

5. En déduire l'affixe du point D tel que le quadrilatère ABDC soit un carré.

Exercice 1-6 (Avec des arguments)

On pose $z_A=3+3\mathrm{i}$ et $z_B=3-3\mathrm{i}$.

1. Placer les points A et B d'affixes $z_A$ et $z_B$ dans un repère.

2. Calculer les modules de z_A et z_B. Que peut-on en déduire sur le triangle $OAB$ ?

3. Calculer un argument de $z_A$, puis de $z_B$. Que peut-on en déduire sur l'angle $\widehat{AOB}$?

4. En déduire la nature du triangle OAB.

Exercice 1-7 (Encore avec des arguments)

On a quatre points A, B, C et D d'affixes respectives $z_A=8$, $z_B=8\mathrm{i}$, $z_C=z_A(12-32\mathrm{i})$ et $z_D=z_B(12+32\mathrm{i})$.

1. Calculer le module et un argument de $z_A$, puis de $z_B$, $z_C$ et $z_D$.

2. Démontrer que les points A, B, C et D sont sur un même cercle, dont on précisera le centre et le rayon.

Exercice 1-8 (Droite d'Euler)

Soient A, B et C trois points distincts d'un cercle de centre O (le point d'affixe 0) et a, b, c leurs affixes respectives.

1. Déterminer l'affixe de leur isobarycentre G.

2. Démontrer que le point H d'affixe $h=a+b+c$ est l'orthocentre du triangle ABC.

3. Montrer que les points O, G et H sont alignés.

Exercice 1-9 (Valeurs exactes de $\cos$ et $\sin$)

On considère les points $A_0$ et $A_1$ d'affixes respectives $a_0=1$ et $a_1={\mathrm{e}}^{\frac{\mathrm{i}\pi }{12}}$, l'image $A_2$ de $A_1$ par la rotation de centre $O$ et d'angle $\frac{\pi }{12}$, et le milieu $I$ du segment $[A_0{A}_2]$.

1. Donner les formes exponentielle et algébrique de l'affixe $a_2$ de $A_2$.

2. Montrer que la forme exponentielle de l'affixe de $I$ est $z_I=\cos \frac{\pi }{12}{\mathrm{e}}^{\frac{\mathrm{i}\pi }{12}}$.

3. Montrer que les points $O$, $I$ et $A_1$ sont alignés.

4. Déterminer les valeurs exactes de $\cos \frac{\pi }{12}$ et $\sin \frac{\pi }{12}$. Pour simplifier l'écriture du résultat final, on pourra remarquer que $8+4\sqrt{3}=(\sqrt{6}+\sqrt{2}{)}^2$.