Complexes et géométrie/Exercices/Lieu géométrique

Exercice 9-1

Dans le plan orienté, soit $OAB$ un triangle rectangle isocèle de sommet $O$ et d'angle au sommet :

$(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB})=\frac{\pi }{2}$.

À partir de chaque point $M$ du segment $[AB]$, on construit les points $P$ et $Q$, projetés orthogonaux respectifs de $M$ sur les droites $(OA)$ et $(OB)$ et les points $R$ et $S$, sommets du carré $PRQS$ de diagonale $[PQ]$ avec :

$(\overrightarrow{PR},\overrightarrow{PS})=\frac{\pi }{2}$.

Déterminer les lieux de $R$ et $S$ lorsque le point $M$ décrit $[AB]$. Modèle:Solution

Exercice 9-2

Le plan est muni d'un repère orthonormal direct $(O;\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$. À tout point $M$ d'affixe $Z$ différente de $1$, on associe le point $M^{\prime }$ d'affixe :

$Z^{\prime }=\frac{1+Z}{1-Z}$.

1°  Calculez les coordonnées $X^{\prime }$ et $Y^{\prime }$ de $M^{\prime }$ en fonction des coordonnées $X$ et $Y$ de $M$.

2°  Soit $D$ la droite d'équation $x=0$.

Soit $\mathrm{\Gamma }$ le cercle de centre $O$ et de rayon $1$.

Montrez que, lorsque $M$ décrit la droite $D$, $M^{\prime }$ se déplace sur le cercle $\mathrm{\Gamma }$.

3°  a)  Montrer que, lorsque $M$ décrit le cercle $\mathrm{\Gamma }$ privé du point $A$ d'affixe $1$, $M^{\prime }$ se déplace sur une droite.

Précisez cette droite.

b)  Montrez que si le point $M$ est un point de $\mathrm{\Gamma }$ différent de $A$, alors les points $A$, $M$ et $M^{\prime }$ sont alignés. Déduisez-en, dans ce cas, une construction de $M^{\prime }$ connaissant $M$.

Exercice 9-3

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct d'origine $O$.

Soit $A$ un point, d'affixe $a\ne 0$, et soit $ABC$ le triangle équilatéral inscrit dans le cercle de centre $O$, de rayon $OA$ et tel que $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=\frac{\pi }{3}$.

1°  Déterminez, en fonction de $a$, les affixes $b$ et $c$ des points $B$ et $C$.

2°  Soit $M$ le point d'affixe $z=a^3$.

Déterminez les points $A$ tels que $M$ est le milieu de $[BC]$.

3°  On suppose, dans cette question, que $A$ décrit le cercle de centre le point $I$ d'affixe $\mathrm{i}$ et de rayon $2$.

Déterminez l’ensemble des points $N$ tels que $ABNC$ est un losange.

Exercice 9-4

Le plan est muni d'un repère orthonormal direct.

1°  Quels sont le module et l'argument de $z_0:=\frac{-1+\mathrm{i}}{\sqrt{2}}$ ?

2°  Représentez dans le plan, les points $A$ d'affixe $1$, $M_0$ d'affixe $z_0+1$ et $M{\text{'}}_0$ d'affixe $z_0^2+2$.

Montrez que ces trois points sont alignés.

3°  Déterminez l'ensemble des points $P$ d'affixe $z$ tels que les points $A$ d'affixe $1$, $M$ d'affixe $z+1$ et $M^{\prime }$ d'affixe $z^2+2$ sont alignés. Modèle:Solution

Exercice 9-5

Soient $f,g:ℂ\to ℂ$, définies par :

$f(z)=(1+\mathrm{i})\overline{z}-2$ et $g(z)=\mathrm{i}\overline{z}+2+\mathrm{i}$.

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal d'origine $O$.

1°  Pour tout point $M(z)$ du plan, on note $M_1$ le point d'affixe $f(z)$ et $M_2$ celui d'affixe $g(z)$.

Déterminez une équation cartésienne de l’ensemble $E$ des points $M$ tels que $O$, $M_1$ et $M_2$ sont alignés

2°  Soit $A$ le point d'affixe $\frac{3}{2}(1-\mathrm{i})$. Déduisez de la question précédente que $E$ est l’ensemble des points $M$ tels que $2A{M}^2=13$. Représentez alors $E$.

3°  a)  Calculez l'affixe du barycentre $G$ des points $M$, $M_1$ et $M_2$ affectés respectivement des coefficients $1$, $1$ et $-1$.

b)  Montrer que $G$ décrit une droite fixe lorsque $M$ décrit le plan.

Exercice 9-6

Le plan $P$ est muni d'un repère orthonormal d'origine $O$. Soit $f$ l’application de $P$ dans $P$ qui au point d'affixe $z$ associe le point d'affixe $z^{\prime }=2z+\mathrm{i}z\overline{z}$.

1°  Déterminez et construisez l'image de l'ensemble des points d'ordonnée nulle.

2°  Déterminez et construisez l'image de l'ensemble des points d'abscisse nulle.

3°  Déterminez et construisez l'image du cercle de centre $O$ et de rayon $1$. Modèle:Solution

Exercice 9-7

Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal direct $(O;\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$, on note $A$ le point d'affixe $\mathrm{i}$. À tout point $M$ du plan, distinct de $A$, on associe le point $M^{\prime }$ d'affixe $z^{\prime }=\frac{\mathrm{i}z}{z-\mathrm{i}}$.

1°  Déterminez les points $M$ tels que $M^{\prime }=M$.

2°  Déterminez l'ensemble $\mathrm{\Gamma }$ des points $M$, distincts de $A$, tels que $M^{\prime }$ soit sur la droite $(O;\overrightarrow{u})$.

3°  Soit $z$ un nombre complexe différent de $\mathrm{i}$ :

a)  montrez que $z^{\prime }-\mathrm{i}=\frac{-1}{z-\mathrm{i}}$ ;

b)  déterminez le lieu géométrique du point $M^{\prime }$, lorsque $M$ décrit le cercle de centre $A$ et de rayon $1$.

Exercice 9-8

Le plan est muni d'un repère orthonormal direct. $P^{*}$ désigne le plan privé de l'origine $O$ ; $a$ est un réel strictement positif.

Soit $T:P^{*}\to P^{*}$ l'application qui à tout point d'affixe $z$ associe le point d'affixe $z^{\prime }=\frac{\mathrm{i}{a}^2}{z}$.

1°  a)  Prouvez que $T$ est involutive (c'est-à-dire $T\circ T={\mathrm{I}\mathrm{d}}_{P^{*}}$).

b)  Cherchez ses points invariants.

2°  Prouvez que $M^{\prime }=T(M)$ équivaut à :

$OM\times O{M}^{\prime }=a^2$ et $(\overrightarrow{u},\overrightarrow{OM})+(\overrightarrow{u},\overrightarrow{O{M}^{\prime }})\equiv \frac{\pi }{2}mod2\pi$.

3°  Quelle est l'image par $T$ :

a)  d'un cercle de centre $O$ ?

b)  d'une droite passant par $O$, privée de $O$ ?