Complexes et géométrie/Exercices/Fonction complexe

Exercice 10-1

Le plan complexe $P$ est muni d'un repère orthonormal $(O;\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$. On prendra Modèle:Unité pour unité graphique.

1°  a)  Résolvez dans $ℂ$ l'équation $z^2-4z+8=0$.

b)  Écrivez les solutions $z_1$ et $z_2$ de cette équation sous forme algébrique et sous forme trigonométrique ($z_1$ est la solution dont la partie imaginaire est positive).

Placez dans $P$ les points $A$ d'affixe $z_1$ et $B$ d'affixe $z_2$.

2°  Soit $f$ l'application qui à tout point $M$ d'affixe $z\ne 0$ associe le point $M^{\prime }$ dont l'affixe $z^{\prime }$ est définie par : $z^{\prime }\overline{z}=1$.

a)  Déterminez les points $A^{\prime }=f(A)$ et $B^{\prime }=f(B)$. Placez-les sur la figure.

b)  Montrez que pour tout point $M\ne O$, les points $O$, $M$ et $M^{\prime }$ sont alignés et $OM\times O{M}^{\prime }=1$.

3°  a)  Montrez que pour tout complexe $z\ne 0$,

$\frac{1-2\overline{z^{\prime }}}{\overline{z^{\prime }}}=z-2$

et déduisez-en que $|z-2|=2$ si et seulement si $|\frac{1}{2}-z^{\prime }|=|z^{\prime }|$.

b)  Soit $ℭ$ le cercle passant par $O$ et centré au point d'affixe $2$. Soit $M$ un point de $ℭ$, distinct de $O$.

Montrer que son image $M^{\prime }$ est située sur une droite $D$ dont vous donnerez une équation. Placez $ℭ$ et $D$ sur la figure.

Exercice 10-2

Le plan complexe $P$ est rapporté au repère orthonormal direct $(O;\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$. $A$ est le point d'affixe $2\mathrm{i}$ et $P^{*}$ le plan $P$ privé de $A$.

À tout point $M$ d'affixe $z\ne 2\mathrm{i}$, on associe le point $M^{\prime }$ d'affixe $z^{\prime }=\frac{2\mathrm{i}z-5}{z-2\mathrm{i}}$. On note $T$ la transformation : $M\mapsto M^{\prime }$.

1°  Montrez que pour tout point $M$ de $P^{*}$, le point $M^{\prime }$ est distinct de $A$.

2°  Montrez que $T$ est une bijection de $P^{*}$ sur lui-même et déterminez sa réciproque $T^{-1}$.

3°  a)  Montrez qu'un point $M$ de $P^{*}$ est fixe par $T$ si et seulement si son affixe vérifie $z^2-4\mathrm{i}z+5=0$.

b)  Trouvez le réel $\alpha$ tel que $z^2-4\mathrm{i}z+5=(z-2\mathrm{i}{)}^2+\alpha$, puis montrer que $T$ admet deux points fixes.

4°  On note $D$ la droite passant par $O$ et dirigée par $\overrightarrow{v}$, et $D^{*}$ la droite $D$ privée de $A$.

Montrez que si $M$ est un point de $D^{*}$, alors son image par $T$ est un point de $D^{*}$ (on dit que $D^{*}$ est « globalement invariante par $T$ »).

5°  a)  Montrez que (pour $z\ne 2\mathrm{i}$) $|z^{\prime }-2\mathrm{i}|\times |z-2\mathrm{i}|=9$.

b)  En déduire que le cercle de centre $A$ et de rayon $3$ est globalement invariant par $T$.