Complexes et géométrie/Exercices/Détermination de transformations

Exercice 3-1

Dans chaque cas, donnez l'écriture complexe de la transformation considérée.

1°  Homothétie de rapport $2$ et de centre d'affixe $1+\mathrm{i}$.

2°  Symétrie centrale de centre d'affixe $5+\mathrm{i}$.

3°  Rotation d'angle $-\frac{\pi }{2}$, de centre d'affixe $\mathrm{i}$.

4°  Rotation d'angle $\frac{2\pi }{3}$ de centre d'affixe $-\frac{1}{2}+\mathrm{i}\frac{\sqrt{3}}{2}$. Modèle:Solution

Exercice 3-2

Soit $f$ la transformation dont l'écriture complexe est $z^{\prime }=\mathrm{i}\overline{z}$.

1°  Que pouvez-vous dire de $f$ ? Rechercher les éventuels points invariants.

2°  Soit $s$ la symétrie orthogonale par rapport à la droite $\mathrm{\Delta }$ d'équation $y=x$. Si $M$ est un point de coordonnées $(x,y)$, quelles sont les coordonnées de $s(M)$ ?

Exprimez l'affixe de $s(M)$ en fonction de celle de $M$. Concluez sur la nature de $f$.

Exercice 3-3

Soit $f$ la transformation dont l'écriture complexe est $z^{\prime }=\overline{z}+4$.

1°  Prouvez que $f$ est un antidéplacement sans points invariants.

2°  Prouvez que $f\circ f$ est une translation dont vous préciserez le vecteur $\overrightarrow{v}$.

3°  Soit $g=t_{-\frac{1}{2}\overrightarrow{v}}\circ f$. Donnez l'écriture complexe de $g$. Déterminez l'application $g$.

4°  Déduisez de ce qui précède que $f$ est la composée (commutative) d'une réflexion d'axe $D$ et d'une translation de vecteur $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{u}$ étant un vecteur directeur de $D$. Modèle:Solution

Exercice 3-4

Soient $A$, $B$, $C$ et $D$ les points d'affixes respectives :

$z_A=\sqrt{3}+\mathrm{i},z_B=-1+\mathrm{i}\sqrt{3},z_C=-\sqrt{3}-\mathrm{i}\text{t}{z}_D=1-\mathrm{i}\sqrt{3}$.

1°  Déterminer le module et un argument de chacun de ces complexes, et placez alors très précisément les quatre points.

Quelle est la nature du quadrilatère $ABCD$ ?

2°  $f_1$ et $f_2$ sont les transformations qui, à tout point $M$ d'affixe $z$ associent respectivement les points $M_1$ d'affixe $z_1=\mathrm{i}z$ et $M_2$ d'affixe $z_2=z+2(1+\mathrm{i})$.

a)  Précisez la nature de $f_1$ et $f_2$.

b)  On pose $f=f_2\circ f_1$. À tout point d'affixe $z$, $f$ associe le point d'affixe $z^{\prime }$. Calculez $z^{\prime }$ en fonction de $z$.

c)  Placez, sans calculer leurs affixes, les images $A^{\prime }$, $B^{\prime }$, $C^{\prime }$ et $D^{\prime }$ par $f$ des points $A$, $B$, $C$ et $D$.

Exercice 3-5

Soit $S$ la transformation dont l'écriture complexe est

$z^{\prime }=(-3+4\mathrm{i})\overline{z}+4-10\mathrm{i}$.

1°  Démontrer que $S$ possède un point invariant $\mathrm{\Omega }$ que vous préciserez.

2°  Soit $h$ l'homothétie de centre $\mathrm{\Omega }$ et de rapport $5$.

Démontrez qu'il existe une application $\sigma$ telle que $S=h\circ \sigma =\sigma \circ h$ et caractérisez l'application $\sigma$.

Exercice 3-6

Soient $\theta \in [0,\pi [$ et $f_{\theta }$ l'application qui associe, à tout point d'affixe $z$, le point d'affixe $z^{\prime }=(1+{\mathrm{e}}^{2\mathrm{i}\theta })\overline{z}+c$, où $c$ est un nombre complexe fixé.

1°  Démontrez qu'il existe deux valeurs ${\theta }_1$ et ${\theta }_2$ de $\theta$ pour lesquelles $f_{\theta }$ est une isométrie.

2°  Démontrez que $f_{{\theta }_2}\circ f_{{\theta }_1}$ est une rotation dont vous préciserez l'angle. Modèle:Solution

Exercice 3-7

Soient $f,g:ℂ\to ℂ$ définies par :

$f(z)=\frac{1-\mathrm{i}\sqrt{3}}{2}z$ et $g(z)=z+1+\mathrm{i}\sqrt{3}$.

On note $F$ et $G$ les transformation du plan complexe associées.

1°  Précisez la nature de $F$, $G$, $F\circ G$ et $G\circ F$ et donnez leurs éléments caractéristiques.

2°  En comparant $(f\circ g)(z)$ et $(g\circ f)(z)$, déterminez l'application du plan qui transforme $(F\circ G)(M)$ en $(G\circ F)(M)$. Modèle:Solution

Exercice 3-8

1°  Soit $T$ la transformation du plan qui, au point $M$ de coordonnées $(x,y)$, associe le point $M^{\prime }$ de coordonnées

$\{\begin{array}{c}{x}^{\prime }=x+1\\ y^{\prime }=y+\sqrt{3}.\end{array}$

Le point $M$ a pour affixe $z=x+\mathrm{i}y$ et $M^{\prime }$ a pour affixe $z^{\prime }=x^{\prime }+\mathrm{i}{y}^{\prime }$.

Exprimez $z^{\prime }$ en fonction de $z$. Précisez la nature de $T$.

2°  Soit $S$ la transformation qui au point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M_1$ d'affixe $z_1=\frac{-1+\mathrm{i}\sqrt{3}}{2}z$.

Précisez la nature et les éléments caractéristiques de $S$.

3°  Soit $f$ la transformation $S\circ T$.

À tout point $M$ d'affixe $z=x+\mathrm{i}y$, $f$ associe le point $M_2$ d'affixe $z_2=x_2+\mathrm{i}{y}_2$.

a)  Exprimez $z_2$ en fonction de $z$, puis $x_2$ et $y_2$ en fonction de $x$ et $y$.

b)  Quelle est l'image par $f$ du point $C(-1,-\frac{1}{\sqrt{3}})$ ?

c)  Montrez que $f$ est une rotation de centre $C$ et précisez son angle.