Complexes et géométrie/Exercices/Étude de figures

Exercice 7-1

Dans le plan complexe, on considère les points $A$, $B$ et $C$, d'affixes respectives

$a=3\sqrt{2}(1+\mathrm{i}),b=3\mathrm{i}\sqrt{2}\text{et}c=3\frac{\sqrt{2}}{2}(-1+\mathrm{i})$.

1°  Calculez $\frac{b-c}{a}$ et $\frac{c}{a}$.

2°  Démontrez que $OABC$ est un trapèze rectangle. Modèle:Solution

Exercice 7-2

Le plan est muni d'un repère orthonormal direct $(O,\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB})$. Unité graphique : Modèle:Unité. On note $C$ le milieu du segment $[AB]$.

Soit $r$ la rotation de centre $C$ et d'angle de mesure $-\frac{\pi }{2}$. Pour tout point $M$ du plan d'affixe $u$, on note $M^{\prime }$ le transformé de $M$ par $r$.

1°  a)  Placez sur une figure les points $O$, $A$, $B$, $M$ et $M^{\prime }$ lorsque $u=\frac{3}{4}$.

b)  Déterminez l'image du segment $[OA]$ par $r$.

c)  Calculez l’affixe $u^{\prime }$ de $M^{\prime }$ en fonction de l'affixe $u$ de $M$.

2°  On note $P$ le milieu du segment $[OC]$, $N$ le milieu du segment $[BM]$ et $N^{\prime }$ le milieu du segment $[A{M}^{\prime }]$.

a)  Exprimez en fonction de $u$ les affixes $Z$ et $Z^{\prime }$ des vecteurs $\overrightarrow{PN}$ et $\overrightarrow{P{N}^{\prime }}$.

b)  Prouvez que le triangle $PN{N}^{\prime }$ est rectangle et isocèle.

c)  Lorsque $u=\frac{3}{4}$, placez le triangle $PN{N}^{\prime }$ sur la figure précédente.

Exercice 7-3

1°  Déterminez le module et un argument des deux nombres complexes

$Z_1=2+2\mathrm{i}$ et $Z_2=1-\mathrm{i}\sqrt{3}$.

2°  Dans le plan muni d'un repère orthonormal direct $(O,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$, on note $A$ le point d'affixe $Z_1$ et $B$ le point d'affixe $Z_2$.

a)  La rotation $r$ de centre $O$ et d'angle $\frac{5\pi }{6}$ radians transforme le point $A$ en un point $C$ d’affixe $Z_3$.

Démontrez que $Z_3=-(1+\sqrt{3})+(1-\sqrt{3})\mathrm{i}$.

b)  Démontrez que le quotient $\frac{Z_3-Z_2}{Z_1-Z_2}$ est imaginaire pur.

Calculez le module et un argument de ce quotient.

Interprétez géométriquement ces résultats en indiquant les particularités du triangle $ABC$.

Exercice 7-4

Dans le plan muni d'un repère orthonormal direct, on considère les points distincts $A$, $B$ et $C$ d'affixes respectives $a$, $b$ et $-b$.

1°  À quelle condition nécessaire et suffisante, portant sur $a$ et $b$, les points $A$, $B$ et $C$ sont-ils alignés ?

On suppose dans la suite que les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés.

2°  On construit les carrés orientés dans le sens direct $AFGB$ et $ACDE$, puis le parallélogramme $AEHF$.

a)  En considérant la rotation de centre $A$ qui transforme $C$ en $E$, montrez que l'affixe du point $E$ est $e=-\mathrm{i}b+a(1-\mathrm{i})$.

b)  Calculez les affixes respectives $f$, $h$ et $d$ des points $F$, $H$ et $D$ en fonction de $a$ et $b$.

3°  Déduisez du 2° que :

a)  $FE=2OA$ et que les droites $(EF)$ et $(OA)$ sont perpendiculaires.

b)  $BD=CH$ et que les droites $(BD)$ et $(CH)$ sont perpendiculaires.

Exercice 7-5

On considère le polynôme $P(z)$ défini par $P(z)=z^3-2z^2-4(1+\mathrm{i})z-16(1-\mathrm{i})$ où $z$ désigne une variable complexe.

1°  Montrez que l’équation $P(z)=0$ admet une solution réelle notée $a$, et une solution imaginaire pure notée $b$.

2°  Déterminez le complexe $c$ tel que :

$P(z)=(z-a)(z-b)(z-c)$.

3°  On désigne par $A$, $B$ et $C$ les points du plan complexe dont les affixes sont respectivement $a$, $b$ et $c$.

Calculez $\frac{c-b}{a-b}$ et déduisez-en la nature du triangle $ABC$.

Exercice 7-6

1°  Exprimez $1-\cos 2\theta$ en fonction de $\sin \theta$, puis $\sin 2\theta$ en fonction de $\sin \theta$ et $\cos \theta$.

2°  Résolvez dans $ℂ$ l'équation :

$2z^2(1-\cos 2\theta )-2z\sin 2\theta +1=0$

où $z$ désigne l’inconnue et $\theta$ un réel non nul de l’intervalle $[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$.

3°  Déterminez le module et l’argument de chacune des racines $z_1$ et $z_2$.

4°  On désigne par $M_1$ et $M_2$ les points d'affixes $z_1$ et $z_2$.

Déterminez les réels non nuls $\theta \in [-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$ tels que le triangle $O{M}_1{M}_2$ est isocèle et rectangle en $O$.

Exercice 7-7

Soit $\theta$ un réel de l'intervalle $[-\pi ,\pi [$.

1°  Résolvez dans $ℂ$ l'équation :

$z^2-(2^{\theta +1}\cos \theta )z+2^{2\theta }=0$.

Donnez chaque solution sous forme trigonométrique.

2°  $A$ et $B$ sont les images ponctuelles des solutions.

Déterminez $\theta$ de telle sorte que le triangle $OAB$ soit :

a)  rectangle ;

b)  équilatéral.

Exercice 7-8

Le plan complexe $P$ est muni d'un repère orthonormal $(O;\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$.

1°  Déterminez la nature et les éléments caractéristiques de l’application $T:P\to P$ qui, à tout point $M$ d'affixe $z$, associe le point $M^{\prime }$ d'affixe $z^{\prime }=-\mathrm{i}\overline{z}+2+2\mathrm{i}$.

2°  $H$ est le milieu du segment $[M{M}^{\prime }]$. Exprimez l'affixe de $H$ en fonction de l’affixe $z$ de $M$, et de $\overline{z}$.

Déduisez-en, toujours en fonction de $z$ et $\overline{z}$, la distance $MH$.

3°  Trouvez une équation cartésienne de l'ensemble $ℭ$ des points $M$ de $P$ dont l’affixe $z$ vérifie :

$|z+1+\mathrm{i}|=\frac{1}{2}|z+\mathrm{i}\overline{z}-2-2\mathrm{i}|$.

Représentez l'ensemble $ℭ$ dans un repère $(O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ avec $\overrightarrow{i}=-\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{j}=-\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}$.

Modèle:Bas de page