Complexes et géométrie/Exercices/Écritures complexes de transformations

Exercice 2-1

$ABCD$ est un carré de sens direct, $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD})=\frac{\pi }{2}$.

$r$ est la rotation de centre $A$, d'angle $\frac{\pi }{2}$.

$t$ est la translation de vecteur $\overrightarrow{AC}$.

$s$ est la symétrie de centre $C$.

1°  Déterminez la nature et les éléments caractéristiques des transformations $f=t\circ r$, $g=s\circ t\circ r$, $h=f\circ g$.

2°  a)  Donner les écritures complexes de $f$ et $g$ dans un repère orthonormal que vous préciserez.

b)  Quels sont les points $M$ tels que $f(M)=g(M)$ ?

Exercice 2-2

1°  Soit $S$ la transformation qui à un point d'affixe $z$ associe le point d'affixe $z^{\prime }=-z+2\mathrm{i}$. Prouvez que $S$ est une symétrie centrale et précisez son centre.

2°  Soit $R$ la rotation de centre $O$ et d'angle $\frac{\pi }{2}$.

Déterminez la nature et les éléments caractéristiques des transformations $R\circ S$ et $S\circ R$.

Exercice 2-3

Soit $(O,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$ un repère orthonormal direct du plan complexe.

1°  Donnez l'écriture complexe de $f$, symétrie axiale d'axe la droite d'équation $y=x$.

2°  Quelles sont les écriture complexe de $g$, symétrie axiale d'axe la droite de repère $(O,\overrightarrow{u})$ et de $h$, symétrie axiale d'axe la droite de repère $(O,\overrightarrow{v})$ ?

3°  Déterminez, grâce à ces écritures complexes, les applications $h\circ g$, $f\circ g$ et $h\circ f$. Modèle:Solution

Exercice 2-4

1°  Soit $r$ la transformation du plan qui, au point $M$ d'affixe $z$, associe le point $M^{\prime }$ d'affixe $z^{\prime }=\mathrm{i}z-2\mathrm{i}$.

a)  Montrez que $r$ admet un unique point invariant $\mathrm{\Omega }$. On notera $\omega$ son affixe.

b)  Montrer que $z^{\prime }=\mathrm{i}z-2\mathrm{i}$, équivaut à $z^{\prime }-\omega =\mathrm{i}(z-\omega )$.

c)  Montrer que, pour tout $M$ distinct de $\mathrm{\Omega }$, $M^{\prime }=r(M)$ équivaut à $(\mathrm{\Omega }{M}^{\prime }=\mathrm{\Omega }M\text{et}(\overrightarrow{\mathrm{\Omega }M},\overrightarrow{\mathrm{\Omega }{M}^{\prime }})=\frac{\pi }{2})$.

En déduire la nature de $r$.

2°  Soit $t$ la transformation qui au point $M(z)$ associe le point $M^{\prime }$ d'affixe $z+2$. Quelle est la nature de $t$ ?

3°  Déterminez l'écriture complexe de la transformation $f:=r\circ t$ puis préciser sa nature.

4°  Précisez la nature de $g:=t\circ r$. Modèle:Solution

Exercice 2-5

Soient $B$, $C$ et $D$ les points d'affixes respectives $\mathrm{i}$, $-1$ et $-\mathrm{i}$. On note :

$R_1$ la rotation de centre $D$ et d'angle $\frac{\pi }{2}$ ;

$R_2$ la rotation de centre $B$ et d'angle $\pi$ ;

$R_3$ la rotation de centre $C$ et d'angle $\frac{\pi }{2}$.

1°  Donnez les écritures complexes de ces trois rotations.

2°  Déduisez-en l'écriture complexe de $T:=R_1\circ R_2\circ R_3$, puis la nature précise de $T$.

3°  Déterminez la nature et les éléments caractéristiques de $\phi :=R_3\circ T$. Modèle:Solution

Exercice 2-6

Soit $f$ la transformation dont l'écriture complexe est :

$z^{\prime }=\frac{-1+\mathrm{i}\sqrt{3}}{2}\overline{z}+\frac{-3+\mathrm{i}\sqrt{3}}{2}$.

1°  Soit $S$ la réflexion par rapport à l'axe des abscisses. Prouvez que $R:=S\circ f$ est une rotation dont vous préciserez le centre et l’angle.

2°  Déduisez-en que $f$ est une réflexion et précisez son axe. Modèle:Solution

Exercice 2-7

On désigne par $S$ l'application du plan dans lui-même qui au point $M(x,y)$ associe le point $M^{\prime }$ de coordonnées :

$\{\begin{array}{c}{x}^{\prime }=x+y-2\\ y^{\prime }=-x+y+4.\end{array}$

1°  On note $z$ l’affixe de $M$ et $z^{\prime }$ celle du point $M^{\prime }=S(M)$. Exprimez $z^{\prime }$ en fonction de $z$.

2°  a)  Montrer que $S$ a un unique point fixe $\mathrm{\Omega }$ et déterminer son affixe.

b)  Quelle est la nature de $S$ ? Préciser.

3°  Soit $h$ l’homothétie de centre $\mathrm{\Omega }$ et de rapport $\frac{1}{\sqrt{2}}$. Préciser la nature de $h\circ S$.

4°  Soient $A$ le point d'affixe $2$ et $B$ celui d'affixe $6$.

a)  Déterminer l'affixe du point $A^{\prime }=S(A)$ et celle du point $B$ tel que $S(B)=B^{\prime }$.

b)  Déterminer les réels $\alpha$ et $\beta$ tels que $\mathrm{\Omega }$ soit le barycentre du système pondéré $\{(A,\alpha ),(A^{\prime },\beta ),(B,1),(B^{\prime },2)\}$.

Exercice 2-8

Soient $S_1,S_2,S_3:ℂ\to ℂ$ définies par :

$\{\begin{array}{cc}{S}_1(z)& =-\mathrm{i}z+1+3\mathrm{i}\\ S_2(z)& =\mathrm{i}z+3-\mathrm{i}\\ S_3& =S_1\circ S_1.\end{array}$

1°  Vérifiez que $S_3=S_2\circ S_2$.

2°  Caractérisez géométriquement les transformations du plan représentées par $S_1,S_2,S_3$. Modèle:Solution

Exercice 2-9

Donnez les fonctions de $ℂ$ dans $ℂ$ représentant :

1. la translation de vecteur $1+2\mathrm{i}$ ;
2. la rotation de centre $0$ et d'angle $\pi /3$ ;
3. la similitude directe de centre $0$, d'angle $\pi /6$ et de rapport $2$ ;
4. la symétrie orthogonale par rapport à l'axe des réels ;
5. la rotation de centre $1+2\mathrm{i}$ et d'angle $\pi /3$ ;
6. la similitude directe de centre $1+2\mathrm{i}$, d'angle $\pi /6$ et de rapport $3$ ;
7. la symétrie orthogonale par rapport à la droite $(1+\mathrm{i})ℝ$ ;
8. la symétrie orthogonale par rapport à la droite $1+(1-\mathrm{i})ℝ$ ;
9. la symétrie orthogonale par rapport à la droite $1+\mathrm{i}+(1-\mathrm{i})ℝ$.

Dans chaque cas, on donnera les transformés des points $0$ et $1-\mathrm{i}$.

On étudiera aussi quelques produits de ces transformations. Modèle:Solution