Complexes et géométrie/Devoir/Un problème de géométrie

Soient $A,B,D$ les points d'affixes respectives :

• $z_A=1+\mathrm{i}\sqrt{3}$ ;
• $z_B=1-\mathrm{i}\sqrt{3}$ ;
• $z_D=2\mathrm{i}$.

1°  Calculer l'affixe du point $C$ image de $D$ par la rotation de centre $O$ (d'affixe $z_O=0$) et d'angle $\frac{\pi }{2}$.

2°  Représenter les points dans le plan complexe dont un repère orthonormé direct est $(O,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$. Faire le dessin.

3°  Soit le triangle $(ABC)$.

a)  Calculer l'angle défini par le couple de vecteurs $(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB})$.

b)  Déterminer la nature du triangle $(ABC)$.

c)  Déterminer le centre et le rayon du cercle $\mathrm{\Gamma }$ circonscrit au triangle.

4. Soit $r$ la rotation de centre $B$ et d'angle $\frac{\pi }{3}$.

a)  Quelles sont les images $A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime }$ des points $A,B,C$ par $r$ ?

b)  Quelle est l’image directe de $\mathrm{\Gamma }$ par $r$ ?

c)  Déterminer l'image réciproque de $\mathrm{\Gamma }$ par $r$.