Complexes et géométrie/Devoir/Étude d'une transformation

Soit $f:{ℂ}^{*}\to {ℂ}^{*}$ définie par :

$f(z)=\frac{1}{\overline{z}}$.

Dans le plan complexe $P$, on associe à tout complexe $z$ le point $M$ d'affixe $z$. Le point d'affixe $0$ est noté $O$.

On note $M^{\prime }$ le point d'affixe $z^{\prime }=f(z)$. À la fonction $f:z\mapsto z^{\prime }$, on associe alors la fonction $F:P^{*}\to P^{*},M(z)\mapsto M^{\prime }(z^{\prime })$, où $P^{*}$ désigne le plan privé de $O$.

1°  Sans calcul de coordonnées, en n'utilisant que les résultats connus sur les inverses et les conjugués :

a)  montrer que l'axe réel (privé de $O$) est globalement invariant par $F$, c'est-à-dire que $F$ transforme tout point de cet axe en un point de cet axe ;

b)  déterminer l'ensemble des points invariants par $F$ ;

c)  montrer que $z$ et $z^{\prime }$ ont mêmes arguments, puis en déduire que $O$, $M$ et $M^{\prime }$ sont alignés et que toute droite qui passe par $O$ est (privée de $O$) globalement invariante par $F$ ;

d)  montrer que $OM\times O{M}^{\prime }=1$ et en déduire que l'image par $F$ d'un cercle de centre $O$ est un cercle de centre $O$ ;

e)  vérifier que $F$ est une involution (c'est-à-dire $F\circ F={\mathrm{I}\mathrm{d}}_{P^{*}}$).

2°  Soit $C$ un cercle de rayon $r$, centré en un point $\mathrm{\Omega }$ d'affixe $\omega$.

a)  Démontrer que (si $z^{\prime }=f(z)$)

$|z^{\prime }{|}^2|z-\omega {|}^2=1-2\mathrm{Re}(z^{\prime }\overline{\omega })+|z^{\prime }{|}^2|\omega {|}^2$

et en déduire que $F(C)$ est l'ensemble des points dont l'affixe $z^{\prime }$ vérifie :

$\lambda |z^{\prime }{|}^2+2\mathrm{Re}(z^{\prime }\overline{\omega })=1$, où $\lambda$ désigne le réel $r^2-|\omega {|}^2$.

b)  En déduire que si $O\in C$ alors $F(C)$ est la médiatrice de $[O{\mathrm{\Omega }}^{\prime }]$, où ${\mathrm{\Omega }}^{\prime }$ est le point $F(\mathrm{\Omega })$.

c)  En déduire, en utilisant 1° e), que l'image d'une droite qui ne passe pas par $O$ est un cercle passant par $O$, dont on précisera géométriquement le centre.

d)  Déduire également de a) que si $O\notin C$ alors $F(C)$ est un cercle — ne passant pas par $O$, d'après b) et 1° e) — dont on calculera l'affixe du centre et le rayon.