Complexes et géométrie/Devoir/Étude d'une similitude indirecte

Modèle:Devoir Modèle:Clr Le plan est muni d'un repère orthonormal direct $(O;\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$ d'unité graphique Modèle:Unité.

On note $A$ le point d'affixe $a=-2\mathrm{i}$.

À tout point $M$ du plan d'affixe $z$ on associe le point $M^{\prime }$ d'affixe :

$z^{\prime }=-2\overline{z}+2\mathrm{i}$.

1°  On considère le point $B$ d'affixe $b=3-2\mathrm{i}$.

a)  Déterminer la forme algébrique des affixes $a^{\prime }$ et $b^{\prime }$ des points $A^{\prime }$ et $B^{\prime }$ associés respectivement aux points $A$ et $B$.

b)  Placer les points $A$, $B$, $A^{\prime }$ et $B^{\prime }$.

2°  Démontrer que si $M$ appartient à la droite $D$ d'équation $y=-2$, alors $M^{\prime }$ appartient aussi à $D$.

3°  a)  Démontrer que pour tout $z$, $|z^{\prime }+2\mathrm{i}|=2|z+2\mathrm{i}|$.

b)  Interpréter géométriquement cette égalité.

4°  Dans cette question, on considère $c=4+2\mathrm{i}$.

a)  Déterminer un argument de $c+2\mathrm{i}$ et en donner une interprétation géométrique.

b)  Déterminer un argument de $c^{\prime }+2\mathrm{i}$ et en donner une interprétation géométrique.

c)  Placer $C$ et $C^{\prime }$, les points associés respectivement à $c$ et $c^{\prime }$. Tracer les demi-droites $[AC)$ et $[A{C}^{\prime })$.

5°  On se place à nouveau dans le cas général. On note $\theta$ un argument de $z+2\mathrm{i}$.

a)  Démontrer que $(z+2\mathrm{i})(z^{\prime }+2\mathrm{i})$ est un réel négatif ou nul.

b)  En déduire un argument de $z^{\prime }+2\mathrm{i}$ en fonction de $\theta$.

c)  Que peut-on en déduire pour les demi-droites $[AM)$ et $[A{M}^{\prime })$ ?

d)  Proposer une construction géométrique du point $M^{\prime }$ associé au point $M$.