Combinatoire/Exercices/Factorielles

Tous ces exercices consistent en de simples calculs utilisant des factorielles. Ici $n$ représente toujours un entier naturel.

Calculs numériques

Calculez (sans calculatrice mais éventuellement en faisant du calcul écrit) la valeur numérique des expressions suivantes :

$a.5!$

$b.7!$

$c.0!$

$d.6!$

$e.\frac{6!}{5!}$

$f.\frac{8!}{6!}$

$g.\frac{5!}{2!}$

$h.\frac{12!}{10!}$

$i.\frac{500!}{499!}$

$j.\frac{180!}{178!}$

$k.\frac{1001!}{999!}$

$l.\frac{95!}{93!}$

$m.\frac{8!}{6!\times 2!}$

$n.\frac{10!}{9!\times 2!}$

Simplifications algébriques

Simplifiez les expressions suivantes :

$a.\frac{n!}{(n-1)!}$

$b.\frac{(n+1)!}{(n-1)!}$

$c.\frac{(n-1)!}{(n-3)!}$

$d.\frac{(n+1)!}{n!}$

Expressions de produits sous forme de quotient de factorielles

Cet exercice demande de faire l'inverse des deux exercices précédents : réécrire un produit sous forme d'une factorielle ou d'un quotient de factorielles.

$a.3\times 2\times 1$

$b.4\times 3\times 2$

$c.9\times 8\times 7\times 6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1$

$d.6\times 5\times 4\times 3\times 2$

$e.14\times 13\times 12\times 11\times 10\times 9\times 8\times 7\times 6\times 5\times 4\times 3\times 2$

$f.9\times 8\times 7$

$g.4\times 3$

$h.6\times 5\times 4$

$i.14\times 13$.

$j.100\times 99\times 98\times 97\times 96$

$k.n(n-1)(n-2)$

$l.(n+1)n(n-1)$

$m.(n+2)(n+1)$

$n.(n-7)(n-8)(n-9)(n-10)$

$o.n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)(n-6)$

$p.n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+2)(n-k+1)$